【題目】如圖,已知在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)(不與A,C重合),延長(zhǎng)BD至E.
(1)求證:AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE;
(2)若∠BAC=30°,且△ABC底邊BC邊上高為1,求△ABC外接圓的周長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)4(2-)π.
【解析】
(1)要證明AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE,即證明∠EDF=∠CDF,轉(zhuǎn)化為證明∠ADB=∠CDF,再根據(jù)A,B,C,D四點(diǎn)共圓的性質(zhì),和等腰三角形角之間的關(guān)系即可得到.
(2)求△ABC外接圓的面積,只需解出圓半徑,故作等腰三角形底邊上的垂直平分線即過(guò)圓心,再連接OC,根據(jù)角之間的關(guān)系在三角形內(nèi)即可求得圓半徑,可得到外接圓面積.
(1)證明:如圖,設(shè)F為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),
∵A,B,C,D四點(diǎn)共圓,
∴∠CDF=∠ABC,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ADB=∠ACB,
∴∠ADB=∠CDF,
∵∠ADB=∠EDF(對(duì)頂角相等),
∴∠EDF=∠CDF,
即AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE.
(2)設(shè)O為外接圓圓心,連接AO比延長(zhǎng)交BC于H,連接OC,
∵AB=AC,
∴,
∴AH⊥BC,
∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°,
∴∠COH=2∠OAC=30°,
設(shè)圓半徑為r,
則OH=OCcos30°=r,
∵△ABC中BC邊上的高為1,
∴AH=OA+OH=r+r=1,
解得:r=2(2-),
∴△ABC的外接圓的周長(zhǎng)為:4(2-)π.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線甲:y=﹣2x2﹣1和拋物線乙的形狀相同,且兩條拋物線的對(duì)稱(chēng)軸均為y軸,兩點(diǎn)距離5個(gè)單位長(zhǎng)度,它們的圖象如圖所示,則拋物線乙的解析式為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC和△CEF均為等腰直角三角形,E在△ABC內(nèi),∠CAE+∠CBE=90°,連接BF.
(1)求證:△CAE∽△CBF
(2)若BE=1,AE=2,求CE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1cm,AB=3cm,BC=5cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/s的速度沿BC的方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度沿CD方向運(yùn)動(dòng),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts(t>0)
(1)求線段CD的長(zhǎng);
(2)t為何值時(shí),線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1:2兩部分?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線 與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,n),與y軸的交點(diǎn)在(0,3),(0,4)之間(包含端點(diǎn)),則下列結(jié)論:①abc>0;②3a+b<0;③﹣≤a≤﹣1;④a+b≥am2+bm(m為任意實(shí)數(shù));⑤一元二次方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,其中正確的有( 。
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=BC,以BC為直徑的⊙O與AC相交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)F.
(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若⊙O的半徑R=5,且tanC =,求EF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC和△CDE均為等腰直角三角形,點(diǎn)B,C,D在一條直線上,點(diǎn)M是AE的中點(diǎn),下列結(jié)論:①tan∠AEC=;②S△ABC+S△CDE≧S△ACE;③BM⊥DM;④BM=DM,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=6,BC=10,點(diǎn)E在CD上,將△BCE沿BE折疊,點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處;點(diǎn)G在AF上,將△ABG沿BG折疊,點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處,有下列結(jié)論:
①∠EBG=45°; ②△DEF∽△ABG;
③S△ABG=S△FGH; ④AG+DF=FG.
其中正確的是_____.(填寫(xiě)正確結(jié)論的序號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,已知AB=AD=2,BC=3,CD=1,∠A=90°.
(1)求BD的長(zhǎng);
(2)求∠ADC的度數(shù).
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