Question

已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（α不大于90°），點(diǎn)P為△ABC外一點(diǎn)，且∠APC=90°+

1

2

α，連接BP
（1）當(dāng)α=60°時(shí)，∠APC=

 

，PA、PB、PC這三條線段滿足的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）如圖2，當(dāng)α=90°時(shí)，探究PA、PB、PC這三條線段滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）用含α的式子表示PA、PB、PC三條線段滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長AP至點(diǎn)E，使得PE=PC，可得△PCE為等邊三角形，即可求證△BCP≌△ACE，可得AE=PB，即可解題；
（2）過C作AP垂線，交AP延長線于點(diǎn)E，易證△BCP∽△ACE，根據(jù)對應(yīng)邊比例等于相似比即可求得PB和AE關(guān)系，再根據(jù)PE和PC關(guān)系即可解題；
（3）易證△ABC∽△EPC可得

AC

CE

=

BC

PC

，進(jìn)而可以證明△BCP∽△ACE，可得

PB

AE

=

CP

CE

=

BC

AC

，根據(jù)等腰三角形底邊和腰長的計(jì)算即可求得PE和PC的關(guān)系，即可解題．

解答：解：（1）延長AP至點(diǎn)E，使得PE=PC，

∵∠APC=120°，
∴∠CPE=60°，
∵PE=PC，
∴△PCE為等邊三角形，
∴∠PCE=60°，CE=CP，
∵∠PCB=∠ACP+∠ACB，∠ACE=∠PCE+∠ACP，∠ACB=∠PCE=60°，
∴∠BCP=∠ACE，
在△BCP和△ACE中，

AC=BC ∠BCP=∠ACE CE=CP

，
∴△BCP≌△ACE（SAS），
∴AE=BP，
∵AE=PA+PE，PE=PC，
∴PB=PA+PC；
（2）過C作AP垂線，交AP延長線于點(diǎn)E，

∵∠APC=90°+45°=135°，
∴∠CPE=45°，
∴CE=PE=

2

2

PC，
∵∠ACB=∠PCE=45°，
∴∠BCP=∠ACE，
∵

AC

BC

=

2

2

，
∴△BCP∽△ACE，
∴

BP

AE

=

2

，
∴PB=

2

AE=

2

（PA+PE）=

2

（PA+

2

2

PC）=

2

PA+PC；
（3）延長AP至點(diǎn)E，使得∠PCE=90°-

1

2

α，

∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠BCA=90°-

1

2

α，
∵∠APC=90°+

1

2

α，
∴∠CPE=90°-

1

2

α，
∴∠PCE=∠CPE=∠ABC=∠ACB，
∴△ABC∽△EPC，∠BCP=∠CE，
∴

AC

BC

=

CE

PC

，即

AC

CE

=

BC

PC

，
∴△BCP∽△ACE，
∴

PB

AE

=

CP

CE

=

BC

AC

，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴BC=2AC•sin

1

2

α，
同理PC=2PE•sin

1

2

α，∴PE=

PC

2•sin 1 2 α

，
∴

PB

PA+ PC 2•sin 1 2 α

=

BC

AC

=2•sin

1

2

α，
∴PB=2PA•sin

1

2

α+PC．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定和相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題中求證△BCP與△ACE的全等或相似是解題的關(guān)鍵．