Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，D是AB邊的中點(diǎn)，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B、C重合），若以D、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則線(xiàn)段PC=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專(zhuān)題：

分析：由Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，D是AB邊的中點(diǎn)，即可求得AB與CD的值，又由以D、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，可得∠DPC=90°或∠CDP=90°，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得PC的值．

解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，
∴AB=15，
∵D是AB邊的中點(diǎn)，
∴CD=BD=

1

2

AB=7.5，
∵以D、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
∴∠DPC=90°或∠CDP=90°，
（1）若∠DPC=90°，則DP∥AC，
∴

BD

AB

=

BP

BC

=

1

2

，
∴BP=

1

2

BC=6，
則PC=6；
（2）若∠CDP=90°，則△CDP∽△BCA，
∴

CD

BC

=

PC

AB

，
即

7.5

12

=

PC

15

，
∴PC=

75

8

．
綜上所述：PC=6或

75

8

．
故答案為：6或

75

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．