Question

12．如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D為AB邊上一點(diǎn)（不與A、B重合）．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）若AD=2，BD=4，求ED的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等即可判斷．
（2）只要證明∠EAD=90°，AE=BD=4，AD=2，根據(jù)勾股定理即可計(jì)算．

解答 （1）證明：∵，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
∴AC=CB，EC=DC，∠ECA=∠DCB，∠B=∠CAB=45°，
在△ECA和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD．
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD=4，∠CAE=∠B=45°，
∴∠EAD=∠EAC+∠CAB=90°，
∴ED=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)∠EAD=90°是今天的突破口，屬于中考�？碱}型．