Question

如圖，已知⊙O_l和⊙O₂外切于A，BC是⊙O_l和⊙O₂的公切線，切點(diǎn)為B、C，連接BA并延長交⊙O_l于D，過D點(diǎn)作CB的平行線交⊙O₂于E、F，
（1）求證：CD是⊙O_l的直徑；
（2）試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)A作兩圓的內(nèi)公切線交BC于G，連AC，則GA=GB=GC，可得AB⊥AC，從而可證明；
（2）先證明△BAE∽△BED，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證明．

解答：（1）證明：過點(diǎn)A作兩圓的內(nèi)公切線交BC于G，連AC，
則GA=GB=GC，
∴AB⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∴CD是⊙O₁的直徑；

（2）解：連接AE，由∠BDE=∠BEA，∠EBD為公共角，
∴△BAE∽△BED，
∴

BA

BE

=

BE

BD

，
即BE²=BA•BD，
又∵BC²=BA•BD，
∴BE=BC，
故BE=BF=BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是巧妙地作出輔助線．