Question

在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：
“水平底”a：任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩面積”S=ah．
例如：三點坐標分別為A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），則“水平底”a=5，“鉛垂高”h=4，“矩面積”S=ah=20．
（1）已知點A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．
①若A，B，P三點的“矩面積”為12，求點P的坐標；
②直接寫出A，B，P三點的“矩面積”的最小值．
（2）已知點E（4，0），F(xiàn)（0，2），M（m，4m），N（n，

16

n

），其中m＞0，n＞0．
①若E，F(xiàn)，M三點的“矩面積”為8，求m的取值范圍；
②直接寫出E，F(xiàn)，N三點的“矩面積”的最小值及對應n的取值范圍．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①首先由題意：a=4，然后分別從①當t＞2時，h=t-1，當t＜1時，h=2-t，去分析求解即可求得答案；
②首先根據(jù)題意得：h的最小值為：1，繼而求得A，B，P三點的“矩面積”的最小值．
（2）①由E，F(xiàn)，M三點的“矩面積”的最小值為8，可得a=4，h=2，即可得

0≤m≤4 0≤4m≤2

．繼而求得m的取值范圍；
②分別從當n≤4時，a=4，h=

16

n

，當4＜n＜8時，a=n，h=

16

n

，當n≥8時，a=n，h=2，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）由題意：a=4．
①當t＞2時，h=t-1，
則4（t-1）=12，可得t=4，故點P的坐標為（0，4）；
當t＜1時，h=2-t，
則4（2-t）=12，可得t=-1，故點P 的坐標為（0，-1）；

②∵根據(jù)題意得：h的最小值為：1，
∴A，B，P三點的“矩面積”的最小值為4；

（2）①∵E，F(xiàn)，M三點的“矩面積”為8，
∴a=4，h=2，
∴

0≤m≤4 0≤4m≤2

．
∴0≤m≤

1

2

．
∵m＞0，
∴0＜m≤

1

2

；

②∵當n≤4時，a=4，h=

16

n

，此時S=ah=

64

n

，
∴當n=4時，取最小值，S=16；
當4＜n＜8時，a=n，h=

16

n

，此時S=ah=16；
當n≥8時，a=n，h=2，此時S=ah=2n，
∴當n=8時，取最小值，S=16；
∴E，F(xiàn)，N三點的“矩面積”的最小值為16，此時n的取值范圍為4≤n≤8．

點評：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及不等式組的解法．此題屬于新定義題，難度較大，解題的關鍵是理解a與h的含義，注意掌握分類討論思想與方程思想的應用．