Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點．△ABC的邊BC在x軸上，A、C兩點的坐標分別為A（0，m）、C（n，0），B（-5，0），且（n-3）²+

3m-12

=0，點P從B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線BO勻速運動，設(shè)點P運動時間為t秒．
（1）求A、C兩點的坐標；  
（2）連接PA，用含t的代數(shù)式表示△POA的面積；
（3）當(dāng)P在線段BO上運動時，是否存在一點P，使△PAC是等腰三角形？若存在，請寫出滿足條件的所有P點的坐標并求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)偶次方和算術(shù)平方根的非負性得出n-3=0，3m-12=0，求出即可；
（2）分為三種情況：當(dāng)0≤t＜

5

2

時，P在線段OB上，②當(dāng)t=

5

2

時，P和O重合，③當(dāng)t＞

5

2

時，P在射線OC上，求出OP和OA，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（3）分為三種情況：①∠PAC為頂角時，找出腰長關(guān)系便可解；②∠ACP為頂角時，找出腰長關(guān)系便可解；③∠APC為頂角時，根據(jù)勾股定理可求得．

解答：解：（1）∵(n-3)2+

3m-12

=0，
∴n-3=0，3m-12=0，
n=3，m=4，
∴A的坐標是（0，4），C的坐標是（3，0）；

（2）∵B（-5，0），
∴OB=5，
①當(dāng)0≤t＜

5

2

時，P在線段OB上，如圖1，
∵OP=5-2t，OA=4，
∴△POA的面積S=

1

2

×OP×AP=

1

2

×（5-2t）×4=10-4t；
②當(dāng)t=

5

2

時，P和O重合，此時△APO不存在，即S=0；
③當(dāng)t＞

5

2

時，P在射線OC上，如備用圖2，
∵OP=2t-5，OA=4，
∴△POA的面積S=

1

2

×OP×AP=

1

2

×（2t-5）×4=4t-10；

（3）P在線段BO上運動使△PAC是等腰三角形，分三種情況，
①∠PAC為頂角時，即AP=AC，
∴AO為△PAC中垂線，
∴PO=CO=3，
∴P點坐標為（-3，0），
∴t=

BP

2

=1s；
②∠ACP為頂角時，AC=CP
根據(jù)勾股定理可得，AC=

OC2+OA2

=5，
∴PO=2，
∴P點坐標為（-2，0），
∴t=

BP

2

=1.5s；
③∠APC為頂角時，AP=PC，設(shè)PA=a，
根據(jù)勾股定理，在Rt△PAO中，x²=（x-3）²+4²
解得x=

25

6

，
∴PO=

25

6

-3=

7

6

，
∴P點坐標為（-

7

6

，0），
∴t=

BP

2

=

23

12

s；
綜上，存在一點P（-3，0）、（-2，0）、（-

7

6

，0）相對應(yīng)的時間分別是t=1、1.5、

23

12

，使△PAC是等腰三角形．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及偶次方和算術(shù)平方根的非負性，三角形的面積，坐標與圖形性質(zhì)、勾股定理等知識點的綜合運用，解題的關(guān)鍵是（2）（3）需要求出符合條件的所有情況，是一道比較容易出錯的題目．