【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,CD⊥AB于點(diǎn)D,CD=BD,BE平分∠ABC,點(diǎn)H是BC邊的中點(diǎn),連接DH,交BE于點(diǎn)G,連接CG.
(1)求證:△ADC≌△FDB;
(2)求證:CE= BF;
(3)判斷△ECG的形狀,并證明你的結(jié)論;
(4)猜想BG與CE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】
(1)證明:∵AB=BC,BE平分∠ABC,

∴BE⊥AC,CE=AE,

∵CD⊥AB,

∴∠ACD=∠DBF,

在△ADC和△FDB中,

∴△ADC≌△FDB(ASA);


(2)證明:∵△ADC≌△FDB,

∴AC=BF,

又∵CE=AE,

∴CE= BF;


(3)證明:△ECG為等腰直角三角形.

∵點(diǎn)H是BC邊的中點(diǎn),

∴GH垂直平分BC,

∴GC=GB,

∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF,得∠ECG=45°,

又∵BE⊥AC,

∴△ECG為等腰直角三角形;


(4)證明:GB= CE;

∵△ECG為等腰直角三角形,

∴GC= CE,

∵GC=GB,

∴GB= CE.


【解析】(1)首先根據(jù)AB=BC,BE平分∠ABC,得到BE⊥AC,CE=AE,進(jìn)一步得到∠ACD=∠DBF,結(jié)合CD=BD,即可證明出△ADC≌△FDB;(2)由△ADC≌△FDB得到AC=BF,結(jié)合CE=AE,即可證明出結(jié)論;(3)由點(diǎn)H是BC邊的中點(diǎn),得到GH垂直平分BC,即GC=GB,由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF,得∠ECO=45°,結(jié)合BE⊥AC,即可判斷出△ECG的形狀;(4)由△ECG為等腰直角三角形,得到GC= CE,因?yàn)镚C=GB,即可得到GB= CE.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)在拋物線的對(duì)稱軸x=-1上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(1)求證:ABE≌△CDF;

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