Question

3．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx-4m（a＞0）與x軸負半軸交于點A，與y軸負半軸交于點B，正方形ABCD的邊AD與y軸正半軸交于E（0，m）．
（1）用含m的代數(shù)式表示點A的坐標；
（2）如果二次函數(shù)y=ax²+bx-4m（a＞0）與x軸的另一個交點為F，且CF⊥x軸，求ma的值；
（3）如果另一個二次函數(shù)y=x²+bx-4m與正方形ABCD的四條邊（包括端點）始終都有五個交點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得點B的坐標為（0，-4m），m＞0，E（0，m），可得OE=m，OB=4m，證明△AOB～△EOA，得到OA²=OB•OE=4m²，所以O(shè)A=2m，即可解答；
（2）過點C做y軸垂線，然后構(gòu)造并證明△AOB≌△BGC，用m表示點C、點F的坐標，將點F的坐標代入拋物線解析式即可求出ma的值；
（3）二次函數(shù)y=x²+bx-4m與正方形ABCD的四條邊（包括端點）始終都有五個交點，則拋物線與正方形的交點在點A右側(cè)，在點C的左側(cè)，將前面求得的點A、F代入，得到兩個不等式，求出兩個不等式即可得到答案．

解答 解：（1）∵當x=0時，y=ax²+bx-4m=-4m，
∴二次函數(shù)y=ax²+bx-4m（a＞0）圖象與Y軸負半軸交于點B（0，-4m），m＞0，
∵正方形ABCD的邊AD與y軸正半軸交于E（0，m），
∴OE=m，
∵∠EAO+∠AEO=90°，∠EAO+∠BOA=90°，
∴∠AEO=∠BOA，
∵∠AOE=∠BOA，
∴△AOB～△EOA，
∴OA²=OB•OE=4m²
∴OA=2m，
∴點A的坐標為（-2m，0）．

（2）過點C作CG⊥y軸于點G，如圖1，

∠ABO+∠COB=90°，∠COB+∠BCG=90°
在△AOB和△BGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠BCG}\\{∠AOB=∠CGB}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BGC（AAS），
∴BG=AO，CG=BO，
∴C（4m，-2m），
∵CF⊥x軸，
∴F（4m，0），
∴a（4m）²+b（4m）-4m=0，
4am=1-b，
8am=2-2b，①
a（2m）²+b（-2m）-4m=0，
4am=4+2b，②
①+②得到12am=6，
ma=$\frac{1}{2}$；

（3）∵二次函數(shù)y=x²+bx-4m與正方形ABCD的四條邊（包括端點）始終都有五個交點，如下圖：
則拋物線與正方形的交點在點A右側(cè)，在點C的左側(cè)，
∵A（-2m，0），C（4m，-2m），
∴當x=-2m，y＞0，當x=4m，y＞-2m，
即：（-2m）²+b×（-2m）-4m＞0①，
（4m）²+4bm-4m＞-2m②，
解①得：4m²-2bm-4m＞0，
∵m＞0，
∴4m-2b-4＞0③；
解②得：16m²+4bm-2m＞0，
∵m＞0，
∴8m+2b-1＞0④；
③+④得：
12m-5＞0，
∴m＞$\frac{5}{12}$．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有：二次函數(shù)的基本性質(zhì)、正方形的基本性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，綜合性性強，難點在于所有點的坐標都含有字母，對學(xué)生的理解、計算提出更高的要求．