Question

已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF交AD于點E，交BC于點F．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）若∠EOD=30°，求CE的長．

Answer 1

考點：

菱形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理．

分析：

（1）根據菱形的對角線互相平分可得AO=CO，對邊平行可得AD∥BC，再利用兩直線平行，內錯角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等；

（2）根據菱形的對角線平分一組對角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的長，再求出EF的長，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

在△AOE和△COF中，，

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD=60°，

∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°，

∵∠EOD=30°，

∴∠AOE=90°﹣30°=60°，

∴∠AEF=180°﹣∠BOD﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°，

∵菱形的邊長為2，∠DAO=30°，

∴OD=AD=×2=1，

∴AO===，

∴AE=CF=×=，

∵菱形的邊長為2，∠BAD=60°，

∴高EF=2×=，

在Rt△CEF中，CE===．

點評：

本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理的應用，（2）求出△CEF是直角三角形是解題的關鍵，也是難點．