Question

閱讀下面材料：
在學(xué)習(xí)小組活動(dòng)中，小明探究了下面問題：菱形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，折疊菱形紙片，將B、D兩點(diǎn)重合在對(duì)角線BD上的同一點(diǎn)處，折痕分別為EF、GH．當(dāng)重合點(diǎn)在對(duì)角線BD上移動(dòng)時(shí)，六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)的變化情況是怎樣的？
小明發(fā)現(xiàn)：若∠ABC=60°，

①如圖1，當(dāng)重合點(diǎn)在菱形的對(duì)稱中心O處時(shí)，六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)為

 

；
②如圖2，當(dāng)重合點(diǎn)在對(duì)角線BD上移動(dòng)時(shí)，六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)

 

（填“改變”或“不變”）．
請(qǐng)幫助小明解決下面問題：
如果菱形紙片ABCD邊長(zhǎng)仍為2，改變∠ABC的大小，折痕EF的長(zhǎng)為m．
（1）如圖3，若∠ABC=120°，則六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)為

 

；
（2）如圖4，若∠ABC的大小為2α，則六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)可表示為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,菱形的性質(zhì)

專題：

分析：①根據(jù)題意可知△BEF和△DGH是等邊三角形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解；
②根據(jù)題意可知△BEF和△DGH是等邊三角形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解；
（1）根據(jù)題意可知EF+GH=AC，再根據(jù)三角函數(shù)和菱的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)題意可知EF+GH=AC，再根據(jù)三角函數(shù)和菱形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：①如圖1，當(dāng)重合點(diǎn)在菱形的對(duì)稱中心O處時(shí)，
由題意可知△BEF和△DGH是等邊三角形，
∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．
∴六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)為 6；
②如圖2，當(dāng)重合點(diǎn)在對(duì)角線BD上移動(dòng)時(shí)，
由題意可知△BEF和△DGH是等邊三角形，
∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．
∴六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)為6．
故六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)不變．
（1）如圖3，若∠ABC=120°，
由題意可知EF+GH=AC，
則六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)為2×2+2×sin60°×2=4+2

3

；
（2）如圖4，若∠ABC的大小為2α，
由題意可知EF+GH=AC，
則六邊形AEFCHG的周長(zhǎng)可表示為2×2+2×sinα×2=4+4sinα．
故答案為：①6；②不變．（1）4+2

3

；（2）4+4sinα．

點(diǎn)評(píng)：考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是得到EF+GH=AC，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．