如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,8).
(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線,交直線CD于點(diǎn)F,在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)G,使以點(diǎn)G、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△COE相似,請(qǐng)直接寫(xiě)出符合要求的,并在第一象限的點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離?如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;  
(4)將拋物線沿其對(duì)稱軸平移,使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn).試探究:拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度?

【答案】分析:(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x-4),把C的坐標(biāo)代入即可求出a的值,再化成頂點(diǎn)式即可;
(2)求出C的坐標(biāo),過(guò)C作CG∥x軸交BF于G,根據(jù)C的坐標(biāo)求出G坐標(biāo);當(dāng)是(4,4)兩三角形全等即相似,當(dāng)是(8,8)時(shí)符合相似三角形的判定,即兩三角形相似綜合上述有3個(gè)點(diǎn).
(3)設(shè)直線CD的解析式是y=kx+b,代入坐標(biāo)后求出解析式,設(shè)P(2,t),根據(jù)距離相等列出方程求出即可;
(4)拋物線向上平移,可設(shè)解析式為y=-x2+2x+8+m,把x=4或-8代入即可列出不等式,即可求出答案.
解答:解:(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x-4),
把C(0,8)代入得a=-1,
∴y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,頂點(diǎn)D(1,9),
答:拋物線的解析式是:y=-x2+2x+8,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1,9).

(2)G(4,8)或(8,8)或(4,4).

(3)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在,依題意設(shè)P(2,t),
設(shè)直線CD的解析式是y=kx+b,
把C(0,8),D(1,9)代入得:,
解得:
∴直線CD的解析式為:y=x+8,
它與x軸的夾角為45°,
設(shè)OB的中垂線交CD于H,則H(2,10).
則PH=|10-t|,點(diǎn)P到CD的距離為
.∴
平方并整理得:t2+20t-92=0,,
∴存在滿足條件的點(diǎn)P,P的坐標(biāo)為,
∴存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,-10+8),(2,-10-8),

(4)解:直線CD的解析式為:y=x+8,
當(dāng)y=0時(shí),x=-8,
當(dāng)x=4時(shí),y=12,
∴E(-8,0),F(xiàn)(4,12).
拋物線向上平移,可設(shè)解析式為y=-x2+2x+8+m(m>0).
當(dāng)x=-8時(shí),y=-72+m,
當(dāng)x=4時(shí),y=m,
∴-72+m≤0或m≤12,
∴0<m≤72.
∴向上最多可平移72個(gè)單位長(zhǎng),
答:拋物線向上最多可平移72個(gè)單位長(zhǎng)度.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的特征,用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,解一元二次方程和一元一次不等式,一次函數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn),解此題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算,此題綜合性強(qiáng),有一定的難度.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,8).
(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E.在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離?如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)M是直線CD上的一動(dòng)點(diǎn),BM交拋物線于N,是否存在點(diǎn)N是線段BM的中點(diǎn),如果存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),且對(duì)稱軸方程為x=1
(1)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,在其對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn),以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),E(3,0),與y軸交于點(diǎn)B,且該精英家教網(wǎng)函數(shù)的最大值是4.
(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(
 
,
 
);
(2)求該拋物線的解析式和B點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)是D,求四邊形AEDB的面積;
(4)若拋物線y=mx2+nx+p與上圖中的拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•株洲)如圖,已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A(1,0),對(duì)稱軸是x=-1,則該拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)是( 。

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