Question

【題目】如圖，已知AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

(1)求證：PC是O的切線(xiàn)；

(2)求證： ；

(3)點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB=4，求MN·MC的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）8

【解析】試題分析：（1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，故PC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）AB是直徑；故只需證明BC與半徑相等即可；

（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進(jìn)而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MNMC，代入數(shù)據(jù)可得MNMC=BM2=8．

試題解析：（1）∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB，

又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC，

∴；

（3）連接MA，MB，

∵點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，∴ 弧AM=弧BM，∴∠ACM=∠BCM，

∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM，

∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB，∴ ，∴，

又∵AB是⊙O的直徑，弧AM=弧BM，

∴∠AMB=90°，AM=BM，

∵AB=4，∴，

∴．