Question

已知：如圖，拋物線與x、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，將△AOB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋90°到△A′OB′，且拋物線y=ax²+2ax+c（a≠0）過點(diǎn)A′、B′．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線y=ax²+2ax+c的解析式；
（3）點(diǎn)D在x軸上，若以B、B′、D為頂點(diǎn)的三角形與△A′B′B相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）令=0，
解得：x₁=-4，x₂=2
∵A點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸，
∴x₂=2（舍去）
∴A（-4，0），
∵點(diǎn)B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，
∴B（0，-2）；

（2）由題意得A′（0，-4），B′（2，0），
代入y=ax²+2ax+c得；

（3）由題意有∠OB'B=45°，∠B′BA′=135°，且=，
如果∠B′DB=135°，由于∠OB′B=45°，所以不可能；
如果∠DBB′=135°，由于∠OB′B=45°，所以也不可能；
若∠DB′B=135°，則點(diǎn)D在B'的右側(cè)
當(dāng)或時(shí)，△BB′D與△A′B′B相似，
得DB′=2或DB′=4，
∴D（4，0）或D（6，0）．
分析：（1）令=0，解一元二次方程即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，B點(diǎn)是（0，c）．
（2）把點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)代入y=ax²+2ax+c，求出a，c問題得解．
（3）因?yàn)橄嗨茖?duì)應(yīng)的不唯一性，需要討論，分別求出滿足題意的D的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)與相似的綜合應(yīng)用，這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．