Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC=5，CD=6，∠DCB=60°，等邊△PMN（N為固定點）的邊長為x，邊MN在直線BC上，NC=8．將直角梯形ABCD繞點C按逆時針方向旋轉到①的位置，再繞點D₁按逆時針方向旋轉到②的位置，如此旋轉下去．
（1）將直角梯形按此方法旋轉四次，如果等邊△PMN的邊長為x≥5+3

3

，求梯形與等邊三角形的重疊部分的面積；
（2）將直角梯形按此方法旋轉三次，如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是

19 3

2

，求等邊△PMN的邊長x的范圍．
（3）將直角梯形按此方法旋轉三次，如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是梯形面積的一半，求等邊△PMN的邊長x．

Answer 1

分析：（1）解本題要先判斷出轉2次后A點與N點的距離，根據題意，轉2次的路程應該是CD+AD，如果過D作DF⊥BC，那么AD=BF=BC-CF，在直角三角形DCF中，CF=3，DF=3

3

，因此AD=2那么轉動兩次后的路程是6+2=8，因此轉動兩次后A，N兩點是重合的，那么再看第三次和第四次轉動的長度，即AB+BC的長，為5+3

3

，那么根據題意可知，梯形完全在等邊三角形內，因此重合部分的面積其實就是梯形的面積．根據梯形的面積計算方法和已知的數據即可求出梯形的面積．
（2）本題的關鍵是要判斷出旋轉3次后哪些是重合部分，如果設旋轉3次后PN與DC交于N，那么先要求出四邊形CBNK的面積是多少，如果四邊形的面積大于

19 3

2

，則說明四邊形CBNK只有部分在等邊三角形內，如果四邊形的面積等于

19 3

2

，就說明四邊形CBNK全部在等邊三角形內，這點對判斷等邊三角形的邊長的取值范圍至關重要．那么先求四邊形CBNK的面積．由于四邊形的面積=梯形的面積-三角形NKD的面積，那么關鍵是求出三角形NDK的面積，已知了三角形的底邊ND的長，可過K作ND邊上的高KH，那么直角三角形NKH中，∠KNH=30°，∠NDK=120°，由此可得出∠HKD=∠HDK=30°，KD=AD=2，那么可求出DH，KH的長，也就求出了三角形NDK的面積，進而可得出四邊形CBNK的面積為

19 3

2

，由此可得出四邊形CBNK全部在等邊三角形內，那么可通過計算此時等邊三角形的邊長最小的情況來得出等邊三角形的邊長的取值范圍，過C作PM的平行線EG，然后在上下兩個直角三角形中分別求出CE和CG，那么EG就是等邊三角形邊長的最小值，由此可得出等邊三角形的邊長的取值范圍．
（3）本題要先判斷等邊三角形邊長的大致范圍，因為這影響到重合部分的面積的計算方法，可過B作PM的平行線BK，過E作PM的平行線EG交CD于H，那么要先判斷四邊形BHEN的面積是否是梯形面積的一半，也就是求三角形BHC和NDE的面積和是否為梯形面積的一半，我們可求的兩三角形的面積和小于梯形的面積的一半，那么等邊三角形的PM邊必在BK與GE中間，那么我們設這邊為RK還是交CD于H，那么可先求出三角形GEN的面積，然后可根據GEN與RNH相似，用相似比表示出三角形RNH的面積，然后再求出三角形HKE的面積，這樣四邊形RHEN的面積=三角形RNH的面積-三角形HKE的面積=梯形的面積的一半，由此可得出關于x的方程，求出x的值即可．

解答：
解：
（1）過點D作DF⊥BC，垂足為F，
∵CD=6，∠DCB=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=

1

2

DC=3，DF=3

3

，
∴BF=BC-CF=2，
又∵梯形ABCD為直角梯形，
∴∠A=∠B=90°而∠DFB=90°，
∴四邊形ABFD為矩形，
∴AD=BF=2，
∴A₂D₁+D₁C=2+6=8，
又∵NC=8，
∴點N與A₂重合，
∵C₄N=B₃C₄+B₃N=5+3

3

，
又∵MN＞5+3

3

，
∴直角梯形與等邊三角形的重疊部分即為整個直角梯形，
∴S_重疊部分=

1

2

(2+5)3

3

=

21 3

2

．


（2）過點C₃作GE∥MP交MN于點G，交NP于占E，
則△GNE為等邊三角形，
過點K作KH⊥B₂N，垂足為H，
在Rt△NKH中∠KNH=30°，∠ND₃K=120°，
∴∠KNH=∠NKD₃，
∴ND₃=D₃K=2，
∴D₃H=1，KH=

3

，
∴S_△D3KH=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
而S_梯形=

21 3

2

，
∴S_梯形-S_△ND3K=

21 3

2

-

3

2

=

19 3

2

=重疊部分面積，
在Rt△GC₃B₃中，∠GC₃B₃=30°，C₃B₃=5，
∴GC₃=

BC

cos30°

=

10 3

3

，
C₃K=C₃D₃-D₃K=6-2=4，
C₃E=C₃Ktan30°=4×

3

3

=

4 3

3

，
∴GE=GC₃+C₃E=

10 3

3

+

4 3

3

=

14 3

3

，
∴等邊△PMN的邊長x的范圍為：x≥

14 3

3

，

（3）如圖：GE∥B₃K∥PM，

Rt△B₃C₃H中，B₃C₃=5，∠C₃=30°，
∴Rt△B₃C₃H的面積為：

25 3

8

，
∴Rt△B₃C₃H的面積+△D₃NE的面積=

25 3

8

+

3

=

33 3

8

＜

21 3

4

（梯形面積的一半），
等邊三角形的一邊RK應落在GE與B₃K之間，如圖所示，

等邊△GNE的邊長為2

3

，面積為3

3

，
∵GE∥RK，
∴△GNE∽△RNK，
∴S_△GNE：S_△RNK=（NE：NK）²，
設KE=x，則S_△GNE：S_△RNK=（

2 3

x+2 3

）²，
而四邊形RNEH的面積為梯形的面積的一半，即

21 3

4

，
在△HEK中，KE=x，∠KEH=30°，
∴S_△KEH=

3 x2

8

，
∴S_△NRK=

21 3

4

+

21 3

4

+

3 x2

8

，
∴（

2 3

x+2 3

）²=

3 3

21 3 4 + 3 x2 8

，
∴x=

-8±2 66

2

，
∴x=-4

3

+

66

（負值舍去），
RN=NE+EK=2

3

+（-4

3

+

66

）=

66

-2

3

，
即此時等邊三角形的邊長為：

66

-2

3

．

點評：本題主要考查了旋轉的性質，解直角三角形的應用以及相似三角形的性質等知識點，根據題目給出的條件先判斷出重合部分的形狀，進而選擇合適的面積計算方法是解題的關鍵．