Question

（2012•房山區(qū)一模）已知點A（1，

1

2

）在拋物線y=

1

3

x²+bx+c上，點F（-

1

2

，

1

2

）在它的對稱軸上，點P為拋物線上一動點．
（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）判斷是否存在直線l，使得線段PF的長總是等于點P到直線l的距離，需說明理由．
（3）設(shè)直線PF與拋物線的另一交點為Q，探究：PF和QF這兩條線段的倒數(shù)和是否為定值？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對稱軸為x=-

b

2a

=-

1

2

和a=

1

3

求得b值，然后把求得的b值和點A點的坐標代入y=

1

3

x²+bx+c，可求得c值，從而得到二次函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)點P（x₀，y₀），表示出P點的縱坐標y₀=

1

3

x₀²+

1

3

x₀-

1

6

．作PM⊥AF于M，利用勾股定理PF²=PM²+MF²進一步得到PF=y₀+1．根據(jù)當直線l經(jīng)過點（0，-1）且與x軸平行時，y₀+1即為點P到直線l的距離，從而得到結(jié)論．
（3）分當PF∥x軸時，利用PF=QF=

3

2

求得

1

PF

+

1

QF

=

4

3

和當PF與x軸不平行時，作QN⊥AF于N，利用△MFP∽△NFQ根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等求得

1

PF

+

1

QF

=

4

3

，從而得到結(jié)論．

解答：（1）解：由-

b

2a

=-

1

2

，a=

1

3

，得b=

1

3

…（1分）
把b=

1

3

和點A（1，

1

2

）代入y=

1

3

x²+bx+c，可求得c=-

1

6

．
故這條拋物線的解析式是y=

1

3

x²+

1

3

x-

1

6

．…（2分）

（2）解：設(shè)點P（x₀，y₀），則y₀=

1

3

x₀²+

1

3

x₀-

1

6

．
作PM⊥AF于M，得 
PF²=PM²+MF²=（x₀+

1

2

）²+（y₀-

1

2

）²
又∵y₀=

1

3

x₀²+

1

3

x₀-

1

6

=

1

3

（x₀+

1

2

）²-

1

4

∴（x₀+

1

2

）²=3y₀+

3

4

∴PF²=3y₀+

3

4

+y₀²-y₀+

1

4

=（ y₀+1）²．
易知y₀≥-

1

4

，y₀+1＞0．∴PF=y₀+1．…（4分）
又∵當直線l經(jīng)過點（0，-1）且與x軸平行時，
y₀+1即為點P到直線l的距離．
∴存在符合題意的直線l．…（5分）

（3）是定值．
證明：當PF∥x軸時，PF=QF=

3

2

，

1

PF

+

1

QF

=

4

3

．…（6分）
當PF與x軸不平行時，作QN⊥AF于N，
∵△MFP∽△NFQ，
∴

PM

PF

=

QN

QF

．
再依據(jù)第（2）小題的結(jié)果，可得

PF- 3 2

PF

=

3 2 -QF

QF

．…（7分）
整理上式，得 

1

PF

+

1

QF

=

4

3

．…（8分）

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到的知識點比較多，難度比較大，是中考中的壓軸題．特別是存在性問題更是近幾年中考的高頻考點．