Question

如圖，點E，O，C在半徑為5的⊙A上，BE是⊙A上的一條弦，cos∠OBE=

4

5

，∠OEB=30°．則BC的長為

 

．

Answer 1

考點：垂徑定理,坐標與圖形性質,圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：過點O作OH⊥BE，垂足為H，連接AC．證得∠OBE=∠ECO，結合90度的圓周角所對的弦是直徑，求得EO的長度，然后結合三角函數求得EB的長度，再用勾股定理求得BC的長度．

解答：解：過點O作OH⊥BE，垂足為H，連接AC．
因為∠OBE=∠ECO，
∴cos∠OBE=cos∠OCE=

4

5

，
又∵∠EOC=90°，所以EC是⊙O的直徑，半徑為5，
所以cos∠OCE=

OC

EC

=

4

5

，
∴OC=8．
由勾股定理得：EO=6，
又∵∠OEB=30°
∴OH=3，EH=3

3

，
∵∠OEB=30°，
∴∵∠OAB=30°，
∴△OAB是等邊三角形，
所以OA=OB=AB=5，
根據勾股定理，BH=4，
所以EB=3

3

+4，∴BC2=EC2-EB2=100-(3

3

+4)2=（4

3

-3）²，
所BC=4

3

-3．
故答案為：4

3

-3．

點評：本題主要考查了90度的圓周角所對的弦是直徑這一性質的應用，解答本題的關鍵在于如何構造直角三角形結合三角函數求出線段的長度．