Question

如圖，AD是△ABC的中線，P是AD的中點，延長BP交AC于點F．
（1）試說明PB=3PF；
（2）若AC的長為12，求AF的長．

Answer 1

分析：（1）過D作DE∥AC，然后利用“角邊角”證明△PDE和△PAF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PE=PF，再根據(jù)平行線分線段成比例定理列式求出BE=EF，然后求解即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE=AF，然后求出AF、FC的關(guān)系，再求解即可．

解答：解：（1）過D作DE∥AC，交BF于點E，
∴∠PDE=∠PAF，
∵P是AD的中點，
∴AP=DP，
∵在△PDE和△PAF中，

∠PDE=∠PAF AP=DP ∠APF=∠DPE

，
∴△PDE≌△PAF（ASA），
∴PE=PF，
由DE∥AC，得到

BD

DC

=

BE

EF

，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=DC，
∴BE=EF=2PF，
∴BP=3PF；

（2）∵△PDE≌△PAF，
∴DE=AF，
∴

DE

FC

=

AF

FC

=

1

2

，
∴AF=

1

1+2

AC=

1

3

×12=4．

點評：本題考查了平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，熟記平行線分線段成比例定理也很重要．