Question

【題目】設(shè)a，b是任意兩個不等實數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式的實數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”．

（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由；

（2）若一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；

（3）若函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

【答案】（1）是，見解析；（2）；（3）a=0，b=1

【解析】

根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷；

根據(jù)新定義運算法則列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組或，通過解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值；

由題意可知二次函數(shù)的圖象開口方向向上，最小值是0，且當(dāng)時，y隨x的增大而減��；當(dāng)時，y隨x的增大而增大；分以下三種情況：、、，分別根據(jù)閉函數(shù)定義列出關(guān)于a、b的方程組，求解后依據(jù)a、b的范圍取舍即可得．

解：反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”理由如下：

反比例函數(shù)在第一象限，y隨x的增大而減小，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，，

所以，當(dāng)時，有，符合閉函數(shù)的定義，故反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”；

分兩種情況：或．

當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象是y隨x的增大而增大，故根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，

，

解得：．

此函數(shù)的解析式是；

當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象是y隨x的增大而減小，故根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，，

解得：．

此函數(shù)的解析式是；

該二次函數(shù)的圖象開口方向向上，最小值是0，且當(dāng)時，y隨x的增大而減��；當(dāng)時，y隨x的增大而增大；

分以下三種情況討論：

當(dāng)時，根據(jù)閉函數(shù)定義知：，

解得：或（舍去）或（舍去）或（舍去）；

當(dāng)時，此時二次函數(shù)的最小值為0，由閉函數(shù)定義知，或，

解得：（舍去）或（舍去）；

當(dāng)時，根據(jù)閉函數(shù)定義知：，

解得：（舍去）或（舍去）；

綜上，，．