Question

（2013•常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x+2的圖象與x軸交于A，與y軸交于點C，點B的坐標(biāo)為（a，0），（其中a＞0），直線l過動點M（0，m）（0＜m＜2），且與x軸平行，并與直線AC、BC分別相交于點D、E，P點在y軸上（P點異于C點）滿足PE=CE，直線PD與x軸交于點Q，連接PA．
（1）寫出A、C兩點的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜m＜1時，若△PAQ是以P為頂點的倍邊三角形（注：若△HNK滿足HN=2HK，則稱△HNK為以H為頂點的倍邊三角形），求出m的值；
（3）當(dāng)1＜m＜2時，是否存在實數(shù)m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代數(shù)式表示）；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求解；
（2）如答圖1所示，解題關(guān)鍵是求出點P、點Q的坐標(biāo)，然后利用PA=2PQ，列方程求解；
（3）如答圖2所示，利用相似三角形，將已知的比例式轉(zhuǎn)化為：

CD

DE

=

PQ

AQ

，據(jù)此列方程求出m的值．

解答：解：（1）在直線解析式y(tǒng)=2x+2中，令y=0，得x=-1；x=0，得y=2，
∴A（-1，0），C（0，2）；

（2）當(dāng)0＜m＜1時，依題意畫出圖形，如答圖1所示．
∵PE=CE，∴直線l是線段PC的垂直平分線，
∴MC=MP，又C（0，2），M（0，m），
∴P（0，2m-2）；
直線l與y=2x+2交于點D，令y=m，則x=

m-2

2

，∴D（

m-2

2

，m），
設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b，則有

b=2m-2 k• m-2 2 +b=m

，解得：k=-2，b=2m-2，
∴直線DP的解析式為：y=-2x+2m-2．
令y=0，得x=m-1，∴Q（m-1，0）．
已知△PAQ是以P為頂點的倍邊三角形，由圖可知，PA=2PQ，
∴

OA2+OP2

=2

OP2+OQ2

，即

1+(2m-2)2

=2

(2m-2)2+(m-1)2

，
整理得：（m-1）²=

1

16

，解得：m=

5

4

（

5

4

＞1，不合題意，舍去）或m=

3

4

，
∴m=

3

4

．

（3）當(dāng)1＜m＜2時，假設(shè)存在實數(shù)m，使CD•AQ=PQ•DE．
依題意畫出圖形，如答圖2所示．
由（2）可知，OQ=m-1，OP=2m-2，由勾股定理得：PQ=

5

（m-1）；
∵A（-1，0），Q（m-1，0），B（a，0），∴AQ=m，AB=a+1；
∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=

5

．
∵直線l∥x軸，∴△CDE∽△CAB，
∴

CD

DE

=

CA

AB

；
又∵CD•AQ=PQ•DE，∴

CD

DE

=

PQ

AQ

，
∴

CA

AB

=

PQ

AQ

，即

5

a+1

=

5 (m-1)

m

，
解得：m=

a+1

a

．
∵1＜m＜2，∴當(dāng)0＜a≤1時，m≥2，m不存在；當(dāng)a＞1時，m=

a+1

a

．
∴當(dāng)1＜m＜2時，若a＞1，則存在實數(shù)m=

a+1

a

，使CD•AQ=PQ•DE；若0＜a≤1，則m不存在．

點評：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了坐標(biāo)平面內(nèi)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、勾股定理、解方程等知識點．題目綜合性較強，有一定的難度．第（3）問中，注意比例式的轉(zhuǎn)化

CD

DE

=

PQ

AQ

，這樣可以簡化計算．