Question

半徑分別為r₁，r₂的⊙O₁和⊙O₂相離，并且一條外公切線長(zhǎng)度為t₁，一條內(nèi)公切線的長(zhǎng)度為t₂，則t₁²-t₂²=________r₁r₂；如果一條外公切線與連心線所夾銳角為α，則sinα=________；如果一條內(nèi)公切線與連心線所夾銳角為β，則sinβ=________．

Answer 1

4        
分析：連接O₁A，O₁C，O₂B，O₂D作O₂E⊥O₁A于E，延長(zhǎng)O₁E到F使CF=O₂D=r₂，連接O₂F，根據(jù)直角三角形中三邊長(zhǎng)度即可求得銳角的三角函數(shù)值，即可解題．
解答：解：如圖，連接O₁A，O₁C，O₂B，O₂D，
作O₂E⊥O₁A于E，延長(zhǎng)O₁E到F使CF=O₂D=r₂，連接O₂F，
則∠EO₂O₁=α，∠FO₂O₁=β
∴sinα=，sinβ=，
在Rt△EO₁O₂中，t₁²=O₁O₂²-（r₁-r₂）²①
在Rt△O₁FO₂中，t₂²=O₁O₂²-（r₁+r₂）²②
①-②得t₁²-t₂²=4r₁r₂，
故答案為4、、．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)值的求值，考查了直角三角形中三角函數(shù)值的應(yīng)用，考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用．