Question

[x]表示不大于x的最大整數(shù)，求：方程[2x]+[3x]=8x-

7

2

的所有實(shí)數(shù)解．

Answer 1

考點(diǎn)：取整計(jì)算

專題：

分析：應(yīng)用分類討論思想，分別從當(dāng)x為整數(shù)時(shí)與x不是整數(shù)去分析．在x不是整數(shù)時(shí)，首先設(shè)x=a+b（其中a為整數(shù)，b為小于1的正實(shí)數(shù)），然后分別從當(dāng)0＜b＜

1

3

時(shí)，當(dāng)

1

3

≤b＜

1

2

時(shí)，當(dāng)

1

2

≤b＜

2

3

時(shí)，當(dāng)

2

3

≤b＜1時(shí)去分析求解，注意檢驗(yàn)，則可求得答案．

解答：解：當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，2x+3x=8x-

7

2

，解得x=

7

6

，不符合，故此時(shí)無(wú)解；
于是設(shè)x=a+b（其中a為整數(shù)，b為小于1的正實(shí)數(shù)），
當(dāng)0＜b＜

1

3

時(shí)，2a+3a=8（a+b）-

7

2

，
∴3a+8b=

7

2

，
∵0＜b＜

1

3

，
∴

5

18

＜a=

7

6

-

8b

3

＜

7

6

，
∴a=1，b=0.0625，
∴x=1.0625；
當(dāng)

1

3

≤x＜

1

2

時(shí)，2a+3a+1=8（a+b）-

7

2

，
∴3a+8b=

9

2

，
∵

1

3

≤b＜

1

2

，
∴

1

6

＜a=

9

6

-

8b

3

≤

11

18

，無(wú)解；
當(dāng)

1

2

≤b＜

2

3

時(shí)，2a+1+3a+1=8（a+b）-

7

2

，
∴3a+8b=

11

2

，
∵

1

2

≤b＜

2

3

，
∴

1

18

＜a=

11

6

-

8b

3

≤

1

2

，無(wú)解；
當(dāng)

2

3

≤b＜1時(shí)，2a+1+3a+2=8（a+b）-

7

2

，
∴3a+8b=

13

2

，
∵

2

3

≤b＜1，
∴-

1

2

＜a=

13

6

-

8b

3

≤

7

18

，
∴a=0，b=0.8125，
∴x=0.8125；
綜上可得：x=0.8125或1.0625，共兩個(gè)實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了取整函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是注意[x]≤x＜[x]+1性質(zhì)的應(yīng)用與分類討論思想的應(yīng)用，難度較大．