Question

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E為邊BC的中點．則對角線BD上的動點P到E、C兩點的距離之和的最小值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：連接AC、AE，AE交BD于P，則此時PE+PC最小，連接CP，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OA=0C，AC⊥BD，AB=BC，得到A和C關(guān)于BD對稱，由∠ABC=60°，得出等邊三角形ACB，推出AC=AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出AE⊥BC，推出∠BAE=30°，求出BE和AE長，即可求出答案．
解答：解：連接AC、AE，AE交BD于P，則此時PE+PC最小，連接CP，
∵菱形ABCD，
∴OA=0C，AC⊥BD，AB=BC，
A和C關(guān)于BD對稱，
∴AP=CP，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=1，
∵E為邊BC的中點，
∴AE⊥BC，
∴∠BAE=30°，
∴BE=，
根據(jù)勾股定理得：AE=，
∴PE+PC=AE=．
故選C．
點評：本題主要考查對菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，軸對稱，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵，此題綜合性強，難度適中．