Question

（1）已知一元二次方程x²+px+q=0（p²﹣4q≥0）的兩根為x₁、x₂；求證：x₁+x₂=﹣p，x₁•x₂=q．

（2）已知拋物線(xiàn)y=x²+px+q與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（﹣1，﹣1），設(shè)線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為d，當(dāng)p為何值時(shí)，d²取得最小值，并求出最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵a=1，b=p，c=q，p²﹣4q≥0，

∴。

（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x²+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

          設(shè)拋物線(xiàn)y=x²+px+q與x軸交于A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，0）、（x₂，0）。

∵d=|x₁﹣x₂|，

∴d²=（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4 x₁•x₂=p²﹣4q=p²﹣4p+8=（p﹣2）²+4。

∴當(dāng)p=2時(shí)，d ²的最小值是4。

【解析】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的最值。

（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可直接證得。

（教材中沒(méi)有元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可先根據(jù)求根公式得出x₁、x₂的值，再求出兩根的和與積即可）

（2）把點(diǎn)（﹣1，﹣1）代入拋物線(xiàn)的解析式，再由d=|x₁﹣x₂|可得d²關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)的最值原理即可得出結(jié)論。