Question

2．已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C分別在坐標(biāo)軸上，且OA=OB=OC，S_△ABC=25．點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿y軸負(fù)方向以1個(gè)單位/秒的速度向下運(yùn)動(dòng)，連接PA、PB，D為線段AC的中點(diǎn)．
（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，DP與DB垂直相等；
（3）若PA=PB，在第四象限內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q，連QA、QB、QP，且∠QBA=∠PBQ+∠QAB=30°．當(dāng)Q在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷△APQ的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用OA=OB=OC，且△ABC面積為25可得到OA、OB、OC的長(zhǎng)，再由D是AC中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）作DM⊥x軸于點(diǎn)M，作DN⊥y軸于點(diǎn)N，得出△MDB≌△NDP，進(jìn)而得到t的值；
（3）在y軸負(fù)半軸上取M點(diǎn)，使其與A、B構(gòu)成等邊三角形，再證△ABQ≌△BMP，得到AQ=BP=AP，從而得到△APQ是等腰三角形．

解答 解：（1）設(shè)OA=OB=OC=a，則AB=OA+OB=2a，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•OC=a²=25，
解得：a=5．
故點(diǎn)A（-5，0），點(diǎn)B（5，0），點(diǎn)C（0，-5）．
又∵D為線段AC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
（2）過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，DN⊥y軸于N，如答圖1：
∵D坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
∴DM=DN，∠MDN=90°，
∵∠MDB+∠BDN=90°，∠DNP+∠BDN=90°，
∴∠MDB=∠DNP，
∴△MDB≌△NDP（ASA），
∴PN=BM=7.5，PC=5，
∴t=5．
（3）△APQ是等腰三角形；理由如下：
在y軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)M，使AM=AB，
∴△ABM為等邊三角形，
∵∠PBQ+∠QAB=30°，∠PBQ+∠PBM=30°，
∴∠QAB=∠PBM，
∵∠BMO=∠ABQ=30°，
∴△ABQ≌△BMP（ASA），
∴AQ=BP，
又∵BP=AP，
∴AQ=AP，
∴△APQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)與判定、線段的垂直平分線性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知作出正確輔助線，構(gòu)造等邊三角形，從而得出△ABQ≌△BMP是解決問題的關(guān)鍵．