Question

已知二次函數y=-x²+6x-5的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），頂點為C．
（1）通過配方，確定點C坐標；
（2）二次函數y=x²-2mx+m²-4的圖象與x軸交于點D、E（點D在點E的左側），頂點為F．
①若存在以六點A、B、C、D、E、F中的四點為頂點的四邊形為菱形，則m=

 

；
②是否存在以六點A、B、C、D、E、F中的四點為頂點的四邊形為矩形？若存在，求出m 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）將二次函數配方后即可確定頂點坐標；
（2）A、B、D、E四點在同一直線上，不可能構成四邊形，只能四邊形ACBF為菱形，點F與點C關于x軸對稱，從而確定點F的坐標為（3，-4），然后利用二次函數的對稱軸公式求得m的值即可；
（3）A、B、D、E四點在同一直線上，不可能構成四邊形，顯然，∠ACB≠90°，∠ACB也不可能為矩形的一個內角，所以四邊形為矩形的頂點只能是A、C、E、F或B、C、D、F；然后分當以四邊形ACEF為矩形時和當四邊形BCDF為矩形時兩種情況分類討論即可確定m的值．

解答：解：（1）y=-x²+6x-5=-（x-3）²+4，
∴點C坐標為（3，4）；

（2）①A、B、D、E四點在同一直線上，不可能構成四邊形，
∴只能四邊形ACBF為菱形，
∴點F與點C關于x軸對稱，
∴點F的坐標為（3，-4），
∴二次函數y=x²-2mx+m²-4的頂點為F，
∴-

-2m

2

=3，
解得：m=3；

②A、B、D、E四點在同一直線上，不可能構成四邊形，
顯然，∠ACB≠90°．
∴∠ACB也不可能為矩形的一個內角；
所以四邊形為矩形的頂點只能是A、C、E、F或B、C、D、F．
當以四邊形ACEF為矩形時，
函數y=（x-m）²-4的圖象可由y=-（x-3）²+4關于x軸的
對稱圖象沿x軸平移而得，所以△ABC≌△DEF．；
當四邊形ACEF為矩形時，△ACG∽△FAH．
∴

CG

AG

=

AH

HF

，
即

4

2

=

AH

4

．
∴AH=8．
∴m=9，
當四邊形BCDF為矩形時，同上求得m=-3，
∴當m=-3或9時，存在以六點A、B、C、D、E、F中的四點為頂點的四邊形為矩形．

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，（2）小題中，都用到了分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．