Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為8的正方形，M（8，s）、N（t，8）分別是邊AB、BC上的兩個動點，且OM⊥MN，當ON最小時，s+t=10．

Answer 1

分析 易證得△OAM∽MBN，則$\frac{OA}{MB}=\frac{AM}{BN}$，由此可求得s與t的關系式，從而得到t的取值范圍．由勾股定理可得ON=$\sqrt{O{C}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{64+{t}^{2}}$，結合t的取值范圍可得ON的最小值，從而求得s、t的值．

解答 解：∵∠OMN=∠B=∠A=90°，
∴∠NMB+∠MNB=90°，∠NMB+∠OMA=90°，
∴∠MNB=∠OMA，
∴△OAM∽MBN，
∴$\frac{OA}{MB}=\frac{AM}{BN}$，
即$\frac{8}{8-s}=\frac{s}{8-t}$，
所以（8-s）s=8（8-t），變形得（s-4）²=8t-48．
∵（s-4）²≥0，
∴8t-48≥0，t≥6．
∵ON=$\sqrt{O{C}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{64+{t}^{2}}$，
當t=6時，ON取得最小值，最小值為$\sqrt{64+36}$=10．
將t=6代入（s-4）²=8t-48得s=4．
所以當ON最小時，s+t=6+4=10．
故答案為：10．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判斷，判斷出t的取值范圍是解題的關鍵．