Question

（2012•同安區(qū)一模）我們定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把

1

1-a

稱為a的衍生數(shù)．如：2的衍生數(shù)是

1

1-2

=-1，-1的衍生數(shù)是

1

1-(-1)

=

1

2

．
（1）若a的衍生數(shù)等于

2

3

，求a的值；
（2）已知a₁=-

1

3

，a₂是a₁的衍生數(shù)，a₃是a₂的衍生數(shù)，a₄是a₃的衍生數(shù)，…，依此類推，求a₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得分式方程：

1

1-a

=

2

3

，解此方程即可求得答案；
（2）首先根據(jù)題意求得a₂，a₃，a₄的值，可得規(guī)律：a_n的衍生數(shù)3次一循環(huán)，繼而求得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：

1

1-a

=

2

3

，
解得a=-

1

2

，
經(jīng)檢驗，a=-

1

2

是原分式方程的解．
即a=-

1

2

；

（2）∵a₁=-

1

3

，
∴a₁的衍生數(shù)a₂=

1

1-(- 1 3 )

=

3

4

，
a₂的衍生數(shù)a₃=

1

1- 3 4

=4，
a₃的衍生數(shù)a₄=

1

1-4

=-

1

3

，
a₄的衍生數(shù)a₅=

1

1-(- 1 3 )

=

3

4

；
∴a_n的衍生數(shù)3次一循環(huán)，
∵2011÷3=670…1；
∴a₂₀₁₁=a₁=-

1

3

．

點評：此題考查了分式方程的求解方法．此題難度適中，屬于規(guī)律性題目，注意得到規(guī)律：a_n的衍生數(shù)3次一循環(huán)，是解此題的關鍵．