Question

3．如圖，射線OM上有三點(diǎn)A，B，C，滿足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm，動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)沿OM方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CO上向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，立即停止運(yùn)動(dòng)），點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q都同時(shí)運(yùn)動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)速度為每秒3cm時(shí)，經(jīng)過多少時(shí)間P，Q兩點(diǎn)相距70m；
（3）當(dāng)PA=2PB時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的位置恰好是線段AB的三等分，求點(diǎn)Q的速度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，根據(jù)題意列出方程，求出x即可；
（2）原本P、Q之間距離大于70cm，所以要分兩種情況，第一相距70cm跟相遇后兩者相距70cm，根據(jù)路程=速度×?xí)r間，即可求得，不過第二次相距70cm時(shí)，Q點(diǎn)早已到達(dá)O點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)；
（3）PA=2PB分兩種情況，一種P在線段AB內(nèi)，一種P在線段AB的延長線上，根據(jù)速度=路程÷時(shí)間，即可求得點(diǎn)Q的速度．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，根據(jù)題意，得
$\frac{OA+\frac{1}{2}AB}{1}$=$\frac{BC+\frac{1}{2}AB}{x}$，即50=$\frac{40}{x}$，
解得x=0.8cm/s．
（2）∵OA+AB+BC=90cm＞70cm，
∴分兩種情況，
①Q(mào)在P的右側(cè)，
經(jīng)過時(shí)間為$\frac{90-70}{1+3}$=5s．
②Q在P的左側(cè)，
∵點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，立即停止運(yùn)動(dòng)，
∴Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{90}{3}$=30s，
兩者相距70cm時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{70}{1}$=70s．
綜合①②得知，經(jīng)過5秒和70秒的P、Q兩點(diǎn)相距70m．
（3）PA=2PB，分兩種情況，
①當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，
∵PA=2PB，
∴PA=$\frac{2}{3}$AB=40cm，
此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{OA+PA}{1}$=60s，
∵點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的位置恰好是線段AB的三等分，
∴BQ=$\frac{1}{3}$AB=20cm，或BQ=$\frac{2}{3}$AB=40cm，
點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為$\frac{BC+BQ}{60}$=0.5cm/s或$\frac{5}{6}$cm/s．
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，
∵PA=2PB，
∴PA=2AB=120cm，
此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{OA+PA}{1}$=140s，
∵點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的位置恰好是線段AB的三等分，
∴BQ=$\frac{1}{3}$AB=20cm，或BQ=$\frac{2}{3}$AB=40cm，
點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為$\frac{BC+BQ}{140}$=$\frac{3}{14}$cm/s或$\frac{5}{14}$cm/s．
綜合①②得知，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為0.5cm/s或$\frac{5}{6}$cm/s，；當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為$\frac{3}{14}$cm/s或$\frac{5}{14}$cm/s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩點(diǎn)間的距離和解分式方程，解題的關(guān)鍵是（1）熟練運(yùn)用解分式方程的知識(shí)解決問題；（2）PQ相距70cm分兩種情況，第一次相距70cm和相遇后再次相距70cm；（3）當(dāng)PA=2PB時(shí)，分兩種情況，一種點(diǎn)P在線段AB內(nèi)，一種點(diǎn)P在線段AB延長線上．