Question

3．如圖，射線OM上有三點A，B，C，滿足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm，動點P從O點出發(fā)沿OM方向以每秒1cm的速度勻速運動；動點Q從點C出發(fā)，在線段CO上向點O勻速運動（點Q運動到點O時，立即停止運動），點P，Q同時出發(fā)．
（1）當點P與點Q都同時運動到線段AB的中點時，求點Q的運動速度；
（2）若點Q運動速度為每秒3cm時，經(jīng)過多少時間P，Q兩點相距70m；
（3）當PA=2PB時，點Q運動的位置恰好是線段AB的三等分，求點Q的速度．

Answer 1

分析 （1）設點Q的運動速度為xcm/s，根據(jù)題意列出方程，求出x即可；
（2）原本P、Q之間距離大于70cm，所以要分兩種情況，第一相距70cm跟相遇后兩者相距70cm，根據(jù)路程=速度×時間，即可求得，不過第二次相距70cm時，Q點早已到達O點停止運動；
（3）PA=2PB分兩種情況，一種P在線段AB內，一種P在線段AB的延長線上，根據(jù)速度=路程÷時間，即可求得點Q的速度．

解答 解：（1）設點Q的運動速度為xcm/s，根據(jù)題意，得
$\frac{OA+\frac{1}{2}AB}{1}$=$\frac{BC+\frac{1}{2}AB}{x}$，即50=$\frac{40}{x}$，
解得x=0.8cm/s．
（2）∵OA+AB+BC=90cm＞70cm，
∴分兩種情況，
①Q在P的右側，
經(jīng)過時間為$\frac{90-70}{1+3}$=5s．
②Q在P的左側，
∵點Q運動到點O時，立即停止運動，
∴Q運動的時間為$\frac{90}{3}$=30s，
兩者相距70cm時運動的時間為$\frac{70}{1}$=70s．
綜合①②得知，經(jīng)過5秒和70秒的P、Q兩點相距70m．
（3）PA=2PB，分兩種情況，
①當點P在A、B兩點之間時，
∵PA=2PB，
∴PA=$\frac{2}{3}$AB=40cm，
此時運動的時間為$\frac{OA+PA}{1}$=60s，
∵點Q運動的位置恰好是線段AB的三等分，
∴BQ=$\frac{1}{3}$AB=20cm，或BQ=$\frac{2}{3}$AB=40cm，
點Q的運動速度為$\frac{BC+BQ}{60}$=0.5cm/s或$\frac{5}{6}$cm/s．
②當點P在線段AB的延長線上時，
∵PA=2PB，
∴PA=2AB=120cm，
此時運動的時間為$\frac{OA+PA}{1}$=140s，
∵點Q運動的位置恰好是線段AB的三等分，
∴BQ=$\frac{1}{3}$AB=20cm，或BQ=$\frac{2}{3}$AB=40cm，
點Q的運動速度為$\frac{BC+BQ}{140}$=$\frac{3}{14}$cm/s或$\frac{5}{14}$cm/s．
綜合①②得知，當點P在A、B兩點之間時，點Q的運動速度為0.5cm/s或$\frac{5}{6}$cm/s，；當點P在線段AB的延長線上時，點Q的運動速度為$\frac{3}{14}$cm/s或$\frac{5}{14}$cm/s．

點評 本題考查了兩點間的距離和解分式方程，解題的關鍵是（1）熟練運用解分式方程的知識解決問題；（2）PQ相距70cm分兩種情況，第一次相距70cm和相遇后再次相距70cm；（3）當PA=2PB時，分兩種情況，一種點P在線段AB內，一種點P在線段AB延長線上．