Question

我們知道，互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系．如果坐標系中兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．

如圖1，P是斜坐標系xOy中的任意一點，與直角坐標系相類似，過點P分別作兩坐標軸的平行線，與x軸、y軸交于點M、N，若M、N在x軸、y軸上分別對應實數a、b，則有序數對（a，b）叫做點P在斜坐標系xOy中的坐標．
（1）如圖2，已知斜坐標系xOy中，∠xOy=60°，試在該坐標系中作出點A（-2，2），并求點O、A之間的距離；
（2）如圖3，在斜坐標系xOy中，已知點B（4，0）、點C（0，3），P（x，y）是線段BC上的任意一點，試求x、y之間一定滿足的一個等量關系式；
（3）若問題（2）中的點P在線段BC的延長線上，其它條件都不變，試判斷上述x、y之間的等量關系是否仍然成立，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AM∥y軸，AM與x軸交于點M，AN∥x軸，AN與y軸交于點N，構建菱形AMON，然后根據菱形的性質以及等邊三角形的判定與性質來求OA的長度；
（2）過點P分別作兩坐標軸的平行線，與x軸、y軸交于點M、N，則 PN=x，PM=y；根據平行線截線段成比例分別列出關于x、y的比例式、；再由線段間的和差關系求得PC+BP=BC知；
（3）當點P在線段BC的延長線上時，上述結論仍然成立．理由如下：這時 PN=-x，PM=y，證明過程同（2）．
解答：解：（1）作AM∥y軸，AM與x軸交于點M，AN∥x軸，AN與y軸交于點N，
則四邊形AMON為平行四邊形，且OM=ON，
∴AMON是菱形，OM=AM
∴OA平分∠MON，
又∵∠xOy=60°，
∴∠MOA=60°，
∴△MOA是等邊三角形，
∴OA=OM=2；

（2）過點P分別作兩坐標軸的平行線，與x軸、y軸交于點M、N，
則 PN=x，PM=y，
由PN∥OB，得，即；
由PM∥OC，得，即；
∴，
即 3x+4y=12．

（3）當點P在線段BC的延長線上時，上述結論仍然成立．理由如下：這時 PN=-x，PM=y，
與（2）類似，，．
又∵．
∴，即．
點評：本題綜合考查了平行線截線段成比例、平行四邊形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質．解答本題時，是通過作輔助線構建平行四邊形（或菱形）解答問題的．