Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)N為BC邊上的一點(diǎn)，且BN＝n（n＞0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度沿AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接NP，作射線PM⊥NP交AD于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，t等于多少秒，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，n等于多少（用含字母t的代數(shù)式表示）

（2）若n＝2，則

①在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M是否可以到達(dá)線段AD的延長線上？通過計(jì)算說明理由；

②連接ND，當(dāng)t為何值時(shí)，ND∥PM？

（3）過點(diǎn)N作NK∥AB，交AD于點(diǎn)K，若在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)K與點(diǎn)M不會重合，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）t＝4秒，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合；n＝﹣，（2）①點(diǎn)M不能到達(dá)線段AD的延長線上，理由見解析；②當(dāng)t＝秒時(shí)，ND∥PM，（3）2＜n≤3．

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖1，AP＝AP＝4，可得t＝4，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖2，利用三角形相似列比例式可得n的式子；

（2）①如圖3，根據(jù)△AMP∽△BPN，列比例式，可得AM＝t（4﹣t）＝＝﹣（t﹣2）2+2，當(dāng)t＝2時(shí)，AM取得最大值為2，此時(shí)點(diǎn)M在線段AD上；

②如圖4，作輔助線構(gòu)建平行線，證明△PMA∽△NDQ，則，列方程可得t的值；

（3）根據(jù)圖4，點(diǎn)Q即為本題中的點(diǎn)K，由（2）①的解答過程可知，△AMP∽△BPN，則，當(dāng)點(diǎn)K與點(diǎn)M重合時(shí)，則有AM＝AK＝BN＝n，列方程t2﹣4t+n2＝0，無解可得n的取值．

（1）當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，P與B重合，N與C重合，如圖1，

∴PA＝AB＝4，

∴t＝4，

即t＝4秒，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合；

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖2，

∵∠DPN＝90°，

∴∠APD+∠BPN＝90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝90°，

∴∠ADP+∠APD＝90°，

∴∠BPN＝∠ADP，

∴△DAP∽△PBN，

，

，

故答案為：4，；

（2）①不能；

如圖3，同理得：△AMP∽△BPN．

∴，

即，

∴AM＝t（4﹣t）＝，

顯然，AM是關(guān)于t的二次函數(shù)，當(dāng)t＝2時(shí)，AM取得最大值為2，此時(shí)點(diǎn)M在線段AD上，所以點(diǎn)M不能到達(dá)線段AD的延長線上．

②如圖4，過點(diǎn)N作NQ∥AB，交AD于點(diǎn)Q，

∴∠PAM＝∠NQD＝90°，

當(dāng)ND∥PM時(shí)，有∠PMA＝∠NDQ，

∴△PMA∽△NDQ，

∴，

而PA＝t，NQ＝4，MA＝，DQ＝3﹣2＝1，

代入得，，即2t2﹣t＝0，解得，t1＝0（舍去），t2＝．

∴當(dāng)t＝秒時(shí)，ND∥PM．

（3）2＜n≤3．

理由是：如圖4，點(diǎn)Q即為本題中的點(diǎn)K，由（2）①的解答過程可知，

∴△AMP∽△BPN．

∴，即，

當(dāng)點(diǎn)K與點(diǎn)M重合時(shí)，則有AM＝AK＝BN＝n，

∴，化簡得，t2﹣4t+n2＝0，

依題意，不存在點(diǎn)K與點(diǎn)M重合的時(shí)刻t，即關(guān)于t的一元二次方程t2﹣4t+n2＝0無解，

∴△＜0，即（﹣4）2﹣4×1×n2＜0，n2＞4，

∵n＞0，

∴n＞2，

綜上，2＜n≤3．