Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為BC邊上的點，BE⊥AD于點E，延長
BE交AC于點F．
（1）證明：BE²=AE•DE；
（2）若$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{DC}$=1，$\frac{AF}{FC}$=2；并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等可證明∠BAE=∠DBE，根據(jù)題意可知∠AEB=∠DEB，從而可證明△ABE∽△BDE，由相似三角形的性質(zhì)可證明BE²=AE•DE；
（2）過點C作CG⊥AD，交AD的延長線于點G，由題意可知BE∥CG，故此△BDE∽△CDG，由BD=CD，可知DE=DG，設AB=2λ，則BD=λ，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得AE=$\frac{4\sqrt{5}λ}{5}$，AD=$\sqrt{5}λ$，從而可求得DE=DG=$\frac{\sqrt{5}}{5}λ$，故此EG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$λ，由EF∥CG，可知：$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{EG}=\frac{2}{1}$．

解答 解：（1）∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠BED=90°．
∴∠BAE+ABE=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠DBE+∠ABE=90°．
∴∠BAE=∠DBE．
∴△ABE∽△BDE．
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{DE}{BE}$．
∴BE²=AE•DE．
（2）如圖所示：過點C作CG⊥AD，交AD的延長線于點G．

∵BE⊥AD，CG⊥AD，
∴BE∥CG．
∴△BDE∽△CDG．
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{DG}$．
∵BD=CD，
∴DE=DG．
設AB=2λ，則BD=λ；
∵∠ABD=90°，BE⊥AD，
∴AD=$\sqrt{（2λ）^{2}+{λ}^{2}}$=$\sqrt{5}λ$．
∵cos∠BAD=$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AD}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴$\frac{AE}{2λ}=\frac{2}{\sqrt{5}}$．
∴AE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}λ$．
∴DE=AD-AE=$\sqrt{5}λ-\frac{4\sqrt{5}}{5}λ$=$\frac{\sqrt{5}}{5}λ$．
∴EG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}λ$．
∵EF∥CG，
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{EG}=\frac{2}{1}$=2．
故答案為：2．

點評 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應用、銳角三角函數(shù)的定義，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵．