Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△ABC的頂點A、B、C在坐標軸上，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=8．
①求直線AC的解析式；
②點P為射線AC上的任意一點，過P作PQ∥x軸交直線BC于點Q，若點P的橫坐標為t，線段PQ的長為d（d≠0），請用含t的式子表示d；
③在②的條件下，當(dāng)PA=$\frac{5}{6}$d時，點E是線段CQ上一點，連接OE、BP，若OE=PB，探究∠APB與∠OEB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 ①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得A和C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求解；
②分成P在線段AC上和在AC的延長線上兩種情況進行討論，求得P和Q的坐標，則d即可利用t表示；
③根據(jù)②的結(jié)果以及PA=$\frac{5}{6}$d即可求得t的值，然后證明△EMO≌△BCP，即可解答．

解答 解：①∵直角△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
又∵直角△AOC中，∠ACO=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2，
則OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
則A的坐標是（-2，0），C的坐標是（0，2$\sqrt{3}$），
設(shè)AC的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
則直線AC的解析式是y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$；
②OB=AB-OA=8-2=6，則B的坐標是（6，0），
設(shè)BC的解析式是y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{-6m+n=0}\\{n=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{n=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
則BC的解析式是y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$．
當(dāng)-2＜t≤0時，如圖1，
把x=t代入y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$得，
y=$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$，
則P的坐標是（t，$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
把y=$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
得：$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
解得：x=-3t，
即Q的坐標是（-3t，$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
則d=-3t-t=-4t；
當(dāng)t＞0時，如圖2，同理求得P的坐標是（t，$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
Q的坐標是（-3t，$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$），
則d=t-（-3t）=4t；
③當(dāng)-2＜t≤0時，PA=2（t+2），則2（t+2）=$\frac{5}{6}$（-4t），解得t=-$\frac{1}{4}$，
OE＜OB＜BC＜BP，不滿足條件；當(dāng)P在線段AC的延長線上，由②可得AP=4+2t，由PA=$\frac{5}{6}$d得4+2t=$\frac{5}{6}$×4t，
解得：t=3．
∠APB=30°+∠OEB，
理由是：BH=3，DH=5$\sqrt{3}$，PB²=9+75=84，
AP=10，PC=6，BC=4$\sqrt{3}$，
設(shè)EM=$\sqrt{3}$x，BM=3x，（$\sqrt{3}$x）²+（3x-6）²=84，解得：x=4，
∴EM=4$\sqrt{3}$，OM=12-6=6，
在△EMO和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=BC}\\{∠EMO=∠PCB}\\{OM=PC}\end{array}\right.$，
∴△EMO≌△BCP，
∴∠MOE=∠CPB=∠OBE+∠OEB，
∴∠APB=30°+∠OEB．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明△EMO≌△BCP是關(guān)鍵．