Question

在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC中∠BAC的平分線，若F是AE上一點，且FG⊥BC，垂足為G，求證：∠EFG=

1

2

∠C-

1

2

∠B．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：證明題

分析：過點A作AD⊥BC于D，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EAC，根據(jù)直角三角形兩銳角互余表示出∠DAC，然后表示出∠EAD，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等可得∠EFG=∠EAD．

解答：解：如圖，過點A作AD⊥BC于D，
∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC中∠BAC的平分線，
∴∠EAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）=90°-

1

2

（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=90°-∠C，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-

1

2

（∠B+∠C）-（90°-∠C）=

1

2

（∠C-∠B），
又∵FG⊥BC，
∴AD∥FG，
∴∠EFG=∠EAD，
∴∠EFG=

1

2

（∠C-∠B）．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．