Question

唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題--將軍飲馬問題：
如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河旁邊的P點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？
做法如下：如圖1，從B出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取B關(guān)于河岸的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，與河岸線相交于P，則P點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到P，飲馬之后，再由P沿直線走到B，所走的路程就是最短的．
（1）觀察發(fā)現(xiàn)
再如圖2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，點(diǎn)E、F是底邊AD與BC的中點(diǎn)，連接EF，在線段EF上找一點(diǎn)P，使BP+AP最短．
作點(diǎn)B關(guān)于EF的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接AC交EF于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+AP的最小值為

2

3

．
（2）實(shí)踐運(yùn)用
如圖3，已知⊙O的直徑MN=1，點(diǎn)A在圓上，且∠AMN的度數(shù)為30°，點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直徑MN上運(yùn)動(dòng)，求BP+AP的最小值．
（3）拓展遷移
如圖4，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（-1，0）、C（0，-3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．
①求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點(diǎn)M，使△ACM周長最小，請求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)與△ACM周長最小值．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析：（1）聯(lián)系題干給出的信息提示，在等腰梯形ABCD中，B、C關(guān)于直線EF對稱，所以BP+AP的最小值應(yīng)為線段AC的長，所以只需求出AC長即可；梯形ABCD中，AD∥BC，所以同旁內(nèi)角∠BAD、∠ABC互補(bǔ)，已知∠BAD=∠D=120°，所以∠ABC=60°，在等腰△ADC中（AD=CD=2），易求得底角∠DAC=30°，此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)△BAC是含30°角的特殊直角三角形，已知AB的長，則線段AC的長可得，由此得解．
（2）延續(xù)上面的思路，先作點(diǎn)A關(guān)于直徑MN的對稱點(diǎn)C，連接BC，那么BC與MN的交點(diǎn)即符合點(diǎn)P的要求，BP+AP的最小值應(yīng)是弦BC的長；已知點(diǎn)B是劣弧AN的中點(diǎn)，所以圓周角∠AMN=

1

2

∠AON=∠BON=30°；點(diǎn)A、C關(guān)于直徑MN對稱，那么

CN

=

AN

，因此∠CON=∠AON=60°，由此可以看出△BOC是一個(gè)等腰直角三角形，已知⊙O的直徑可得半徑長，則等腰直角三角形的斜邊（即BP+AP的最小值BC長）可求．
（3）①已知拋物線對稱軸x=

b

-2a

=1，以及點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法能求出拋物線的解析式；
②△ACM中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)已確定，所以邊AC的長是定值，若△ACM的周長最小，那么AM+CM的值最小，所以此題的思路也可以延續(xù)上面兩題的思路；過點(diǎn)C作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D，根據(jù)拋物線的對稱性點(diǎn)D的坐標(biāo)易得，首先利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，那么直線AD與拋物線對稱軸的交點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)M；在求出點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)后，線段AC、AD的長可得，所以△ACM的周長最小值=AC+AD（其中AD為AM+CM的最小值）．

解答：解：（1）在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，且∠BAD=∠D=120°，
∴∠ABC=60°；
在△ADC中，AD=CD=2，∠D=120°，所以∠DAC=∠DCA=30°；
∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=120°-30°=90°，即△BAC為直角三角形；
在Rt△BAC中，∠ABC=60°，∠BCA=90°-60°=30°，AB=2，所以AC=AB•tan60°=2

3

；
由于B、C關(guān)于直線EF對稱，根據(jù)閱讀資料可知BP+AP的最小值為線段AC的長，即2

3

．

（2）如圖（2），作點(diǎn)A關(guān)于直徑MN的對稱點(diǎn)C，連接BC，則BC與直徑MN的交點(diǎn)為符合條件的點(diǎn)P，BC的長為BP+AP的最小值；
連接OA，則∠AON=2∠AMN=60°；
∵點(diǎn)B是

AN

的中點(diǎn)，
∴∠BON=

1

2

∠AON=30°；
∵A、C關(guān)于直徑MN對稱，
∴

CN

=

AN

，則∠CON=∠AON=60°；
∴∠BOC=∠BON+∠CON=90°，又OC=OB=

1

2

MN=

1

2

，
在等腰Rt△BOC中，BC=

2

OB=

2

2

；
即：BP+AP的最小值為

2

2

．

（3）①依題意，有：

b -2a =1 a-b+c=0 c=-3

，解得

a=1 b=-2 c=-3

∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3；
②取點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸x=1的對稱點(diǎn)D，根據(jù)拋物線的對稱性，得：D（2，-3）；
連接AD，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M，如圖（3）-②；
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，代入A（-1，0）、D（2，-3），得：

-k+b=0 2k+b=-3

，解得

k=-1 b=-1

∴直線AD：y=-x-1，M（1，-2）；
∴△ACM的周長最小值：l_min=AC+AD=

10

+3

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查了：等腰梯形的性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形、利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式等綜合知識；題目的三個(gè)小題都是題干閱讀信息的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是閱讀信息中得到的結(jié)論，這就要充分理解軸對稱圖形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間線段最短的具體含義．