Question

15．如圖，△ABC中，BC=8，CA=4$\sqrt{3}$，∠C=60°，點(diǎn)E、F、D分別在邊AB、AC、BC上（點(diǎn)E點(diǎn)A、B不重合），EF∥BC，設(shè)EF=x，△DEF中邊EF上的高為y．
（1）求證：△AEF∽△ABC；
（2）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）試問在BC上是否存在點(diǎn)D，使得△DEF是等腰直角三角形？若存在，求出CD的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)EF∥BC，由平行線分線段成比例定理可得△AEF∽△ABC；
（2）過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，交EF于點(diǎn)N，在Rt△ACM中，由三角函數(shù)得出AM，再由（1）得出△AEF與△ABC的相似比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊上的高之比等于相似比，得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）分情況討論，直角頂點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，再根據(jù)三角形相似得出CD的長．

解答 解：（1）證明：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC；
（2）解：過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，交EF于點(diǎn)N，
∵CA=4$\sqrt{3}$，∠C=60°，
∴sin60°=$\frac{AM}{AC}$，
∴AM=6，
∵△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AN}{AM}$，
∵EF=x，MN=y，BC=8，
∴$\frac{x}{8}$=$\frac{6-y}{6}$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+6，
∵點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上（點(diǎn)E點(diǎn)A、B不重合），
∴自變量x的取值范圍0＜x＜8；
（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)D在BC上，使得△DEF是等腰直角三角形，
分三種情況：①當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，
過點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為H，如圖1，
∵EF=x，
∴ED=FH=y，
∴y=x，
∵△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{6-y}{6}$，
∴3x=24-4y，
∴x=$\frac{24}{7}$，
在Rt△CFH中，tan60°=$\frac{FH}{CH}$，
∴CH=$\frac{y}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴CD=CH+DH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{32\sqrt{3}}{7}$；
②當(dāng)∠DFE=90°時(shí)，如圖2，
由①得x=y=$\frac{24}{7}$，
在Rt△CFD中，tan60°=$\frac{FD}{CD}$，
∴CD=$\frac{y}{\sqrt{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{7}$；
③當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，
分別過點(diǎn)D、F作DP⊥EF，F(xiàn)Q⊥BC，垂足分別為P、Q，如圖3，
∵EF=x，
∴PD=FP=FQ=y，
∴y=$\frac{1}{2}$x，
∵△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{6-y}{6}$，
∴6x=48-8y，
∴x=4.8，
∴y=2.4，
在Rt△CFQ中，tan60°=$\frac{FQ}{CQ}$，
∴CQ=$\frac{y}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，
∴CD=CQ+DQ=2.4+$\frac{2\sqrt{3}}{5}$=$\frac{12+2\sqrt{3}}{5}$．
綜上所述，CD的長為$\frac{32\sqrt{3}}{7}$；$\frac{8\sqrt{3}}{7}$；$\frac{12+2\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似形的綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，其中相似三角形的判定方法有：兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似；三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似．