Question

【題目】如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CO到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG．

（1）如圖1，若正方形OEFG的對(duì)角線交點(diǎn)為M，求證：四邊形CDME是平行四邊形．

（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，如圖2，連接AG′，DE′，求證：AG′=DE′，AG′⊥DE′；

（3）在（2）的條件下，正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊相交于點(diǎn)N，如圖3，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），若△AON是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出α的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．

【解析】

（1）由四邊形OEFG是正方形，得到ME=GE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CD∥GE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到結(jié)論；

（2）如圖2，延長(zhǎng)E′D交AG′于H，由四邊形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，由四邊形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到結(jié)論；

（3）分類討論，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵四邊形OEFG是正方形，

∴ME=GE，

∵OG=2OD、OE=2OC，

∴CD∥GE，CD=GE，

∴CD=GE，

∴四邊形CDME是平行四邊形；

（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)E′D交AG′于H，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，

∵四邊形OEFG是正方形，

∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，

∵將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，

∴∠G′OD=∠E′OC，

∴∠AOG′=∠COE′，

在△AG′O與△ODE′中，

，

∴△AG′O≌△ODE′

∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，

∵∠1=∠2，

∴∠G′HD=∠G′OE′=90°，

∴AG′⊥DE′；

（3）①正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AD相交于點(diǎn)N，如圖3，

Ⅰ、當(dāng)AN=AO時(shí)，

∵∠OAN=45°，

∴∠ANO=∠AON=67.5°，

∵∠ADO=45°，

∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°；

Ⅱ、當(dāng)AN=ON時(shí)，

∴∠NAO=∠AON=45°，

∴∠ANO=90°，

∴α=90°-45°=45°；

②正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AB相交于點(diǎn)N，如圖4，

Ⅰ、當(dāng)AN=AO時(shí)，

∵∠OAN=45°，

∴∠ANO=∠AON=67.5°，

∵∠ADO=45°，

∴α=∠ANO+90°=112.5°；

Ⅱ、當(dāng)AN=ON時(shí)，

∴∠NAO=∠AON=45°，

∴∠ANO=90°，

∴α=90°+45°=135°，

Ⅲ、當(dāng)AN=AO時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a=∠ANO+90°=67.5+90=157.5°，

綜上所述：若△AON是等腰三角形時(shí)，α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．