Question

20．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，下列結(jié)論：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CDFE的面積保持不變；
③△CDE面積的最大值為8；
④四邊形CDFE不可能為正方形；
⑤DE長(zhǎng)度的最小值為4．
其中正確的結(jié)論是（填序號(hào)）???①②③．

Answer 1

分析 ①連接CF，證明△ADF≌△CEF，得到△EDF是等腰直角三角形；
②根據(jù)△ADF≌△CEF，得到S_{四邊形CEFD}=S_△AFC；
③求出DF的最小值，根據(jù)當(dāng)DE最小時(shí)，DF也最小進(jìn)行計(jì)算即可；
④根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)得到四邊形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理進(jìn)行判斷；
⑤由③的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：①連接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，①正確；
②∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF
∴S_{四邊形CEFD}=S_△AFC，②正確；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此當(dāng)DE最小時(shí)，DF也最小，
當(dāng)DF⊥AC時(shí)，DE最小，此時(shí)DF=$\frac{1}{2}$BC=4．
∴DE=$\sqrt{2}$DF=4$\sqrt{2}$；
當(dāng)△CEF面積最大時(shí)，此時(shí)△DEF的面積最小．
此時(shí)S_△CEF=S_{四邊形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8，③正確；
④當(dāng)D、E分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，CD=DF=FE=EC，
四邊形CDFE是菱形，又∠C=90°，
∴四邊形CDFE是正方形，④錯(cuò)誤；
⑤由③可知當(dāng)DE最小時(shí)，DF也最小，
DF的最小值是4，則DE的最小值為4$\sqrt{2}$，⑤錯(cuò)誤，
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、理解點(diǎn)到直線的距離的概念是解題的關(guān)鍵．