Question

已知：如圖，一次函數(shù)y=

1

2

x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=

1

2

x+1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求四邊形BDEC的面積S；
（3）在x軸上有一動點(diǎn)P，從O點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向右運(yùn)動，是否存在點(diǎn)P使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間t的值，若不存在，請說明理由．
（4）若動點(diǎn)P在x軸上，動點(diǎn)Q在射線AC上，同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒a個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動，是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線BC的解析式，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由于B、D都在拋物線的圖象上，那么它們都滿足該拋物線的解析式，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值；
（2）根據(jù)拋物線的解析式，可求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線BC的解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；那么四邊形BDEC的面積即可由△AEC、△ABD的面積差求得；
（3）假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)，連接BP、CP，過C作CF⊥x軸于F，若∠BPC=90°，則△BPO∽△CPF，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別表示出OP、PF的長，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，繼而得出t的值．
（4）假設(shè)成立有△ABD∽△APQ或△ABD∽△AQP，則有∠ABD=∠APQ，或∠ABD=∠AQP，判斷是否滿足即可．

解答：解：（1）將B（0，1），D（1，0）的坐標(biāo)代入y=

1

2

x²+bx+c，
得：

c=1 b+c+ 1 2 =0

，
解得：

b=- 3 2 c=1

故解析式y(tǒng)=

1

2

x²-

3

2

x+1；

（2）設(shè)C（x₀，y₀），
則有

y0= 1 2 x0+1 y0= 1 2 x02- 3 2 x0+1

，
解得

x0=4 y0=3

，
∴C（4，3），
由圖可知：S=S_△ACE-S_△ABD，又由對稱軸為x=

3

2

可知E（2，0），
∴S=

1

2

AE•y₀-

1

2

AD×OB=

1

2

×4×3-

1

2

×3×1=

9

2

；

（3）設(shè)符合條件的點(diǎn)P存在，令P（a，0）：
當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖：過C作CF⊥x軸于F；
∵Rt△BOP∽Rt△PFC，
∴

BO

PF

=

OP

CF

，
即

1

4-a

=

a

3

，
整理得a²-4a+3=0，
解得a=1或a=3；
故可得t=1或3．

（4）存在符合條件的t值，使△APQ與△ABD相似，
①當(dāng)△APQ∽△ABD時(shí)，

AP

AB

=

AQ

AD

，
解得：a=

4

3

；
②當(dāng)

AP

BD

=

PQ

AB

 解得：a=

20

7

，
∴存在符合條件的a值，使△APQ與△ABD相似，a=

4

3

或

20

7

．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)及圖形面積的求法、直角三角形的判定以及相似三角形的性質(zhì)等，難度適中．