(2006•荊門(mén))在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(0,3),B(4,0),設(shè)P、Q分別是線段AB、OB上的動(dòng)點(diǎn),它們同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).
(1)用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△OPQ為直角三角形?
(3)在什么條件下,以Rt△OPQ的三個(gè)頂點(diǎn)能確定一條對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線?選擇一種情況,求出所確定的拋物線的解析式.

【答案】分析:(1)作PM⊥y軸,PN⊥x軸,那么PM就是P點(diǎn)的橫坐標(biāo),PN就是P點(diǎn)的縱坐標(biāo).然后可通過(guò)相似三角形AMP和AOB求出MP的長(zhǎng),同理可通過(guò)相似三角形BPN和BAP求出PN的長(zhǎng),即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)本題要分情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)∠POQ=90°時(shí),P,A重合此時(shí)t=0;
當(dāng)∠OPQ=90°時(shí),可根據(jù)射影定理得出PN2=ON•NQ,由此可求出t的值.
當(dāng)∠OPQ=90°時(shí),Q,N重合,可用BQ的長(zhǎng)表示出P點(diǎn)的橫坐標(biāo),以此可求出t的值.
(3)很顯然當(dāng)∠OPQ=90°時(shí),可確定一條符合條件的拋物線,可根據(jù)(2)中得出的∠OPQ=90°時(shí)t的取值,確定出P,Q的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法即可求出這條拋物線的解析式.
解答:解:(1)作PM⊥y軸,PN⊥x軸.
∵OA=3,OB=4,
∴AB=5.
∵PM∥x軸,
,

∴PM=t.
∵PN∥y軸,
,
,
∴PN=3-t,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,3-t).

(2)①當(dāng)∠POQ=90°時(shí),t=0,△OPQ就是△OAB,為直角三角形.
②當(dāng)∠OPQ=90°時(shí),△OPN∽△PQN,
∴PN2=ON•NQ.
(3-t)2=t(4-t-t).
化簡(jiǎn),得19t2-34t+15=0,
解得t=1或t=
③當(dāng)∠OQP=90°時(shí),N、Q重合.
∴4-t=t,
∴t=
綜上所述,當(dāng)t=0,t=1,t=,t=時(shí),△OPQ為直角三角形.

(3)當(dāng)t=1或t=時(shí),即∠OPQ=90°時(shí),
以Rt△OPQ的三個(gè)頂點(diǎn)可以確定一條對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線.
當(dāng)t=1時(shí),點(diǎn)P、Q、O三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(,),Q(3,0),O(0,0).
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-3)(x-0),
即y=a(x2-3x).
將P(,)代入上式,
得a=-
∴y=-(x2-3x).
即y=-x2+x.
說(shuō)明:若選擇t=時(shí),點(diǎn)P、Q、O三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P(),Q(,0),O(0,0).
求得拋物線的解析式為y=-x2+x.
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn),考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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