Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點(diǎn)P，Q都是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從B 向A運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)，BP=AQ．點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)A，B以Q，P為對稱中心的對稱點(diǎn)， HQ⊥AB于Q，交AC于點(diǎn)H．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)頂點(diǎn)A時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP的長為x，△HDE的面積為y．

1.求證：△DHQ∽△ABC

2.求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求y的最大值

3.當(dāng)x為何值時(shí)，△HDE為等腰三角形？

 

Answer 1

【答案】

 

1.∵A、D關(guān)于點(diǎn)Q成中心對稱，HQ⊥AB，

∴=90°，HD=HA，

∴，

∴△DHQ∽△ABC．-----------------------------------------------------2分

2.①如圖1，當(dāng)時(shí)，

ED=，QH=，

此時(shí)．-------------------------3分

當(dāng)時(shí)，最大值．--------------------------4分

②如圖2，當(dāng)時(shí)，

ED=，QH=，

此時(shí)． --------------------------5分

當(dāng)時(shí)，最大值．------------------------------6分

∴y與x之間的函數(shù)解析式為

y的最大值是．---------------------------------------------------------------7分

3.①如圖1，當(dāng)時(shí)，

若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，

∴=，．

顯然ED=EH，HD=HE不可能；-----------------------------------9分

②如圖2，當(dāng)時(shí)，

若DE=DH，=，； -----------------10分

若HD=HE，此時(shí)點(diǎn)D，E分別與點(diǎn)B，A重合，；------------------11分

若ED=EH，則△EDH∽△HDA，

∴，，．   ------------------------12分

∴當(dāng)x的值為時(shí)，△HDE是等腰三角形

【解析】（1）∵A、D關(guān)于點(diǎn)Q成中心對稱，HQ⊥AB，

∴=90°，HD=HA，

∴，

∴△DHQ∽△ABC．-----------------------------------------------------2分

（2）①如圖1，當(dāng)時(shí)，

ED=，QH=，

此時(shí)．-------------------------3分

當(dāng)時(shí)，最大值．--------------------------4分

②如圖2，當(dāng)時(shí)，

ED=，QH=，

此時(shí)． --------------------------5分

當(dāng)時(shí)，最大值．------------------------------6分

∴y與x之間的函數(shù)解析式為

y的最大值是．---------------------------------------------------------------7分

（3）①如圖1，當(dāng)時(shí)，

若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，

∴=，．

顯然ED=EH，HD=HE不可能；-----------------------------------9分

②如圖2，當(dāng)時(shí)，

若DE=DH，=，； -----------------10分

若HD=HE，此時(shí)點(diǎn)D，E分別與點(diǎn)B，A重合，；------------------11分

若ED=EH，則△EDH∽△HDA，

∴，，．   ------------------------12分

∴當(dāng)x的值為時(shí)，△HDE是等腰三角形