Question

19．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²-4x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)D（5，0）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出該拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P使得△ADP的面積等于15？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法把點(diǎn)A（-1，0）和D（5，0）．代入二次函數(shù)y=ax²-4x+c中，可以解得a，c的值，從而求得函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，利用配方法求出對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（x，x²-4x-5），根據(jù)△ADP的面積等于15得出x的值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{a+4+c=0}\\{25a-20+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x-5；
（2）y=x²-4x-5；=（x-2）²-9，
∴頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，-9），
對稱軸為直線x=2．
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使△ADP的面積等于15，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（x，x²-4x-5），
∵△ADP的面積等于15，
∴$\frac{1}{2}$AD•|y_P|=15，
∴$\frac{1}{2}$×6×|x²-4x-5|=15，
∴|x²-4x-5|=5，
∴x²-4x-5=5或-5，
∴當(dāng)x²-4x-5=5時，x=2±$\sqrt{14}$，P₁（2+$\sqrt{14}$，5），P₂（2-$\sqrt{14}$，5）
當(dāng)x²-4x-5=5時，x=0或4，P₃（0，-5），P₄（4，-5）
∴存在點(diǎn)P，使△ADP的面積等于15，點(diǎn)P的坐標(biāo)P₁（2+$\sqrt{14}$，5），P₂（2-$\sqrt{14}$，5），P₃（0，-5），P₄（4，-5）．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線和x軸的交點(diǎn)問題，以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，同時還考查了方程組的解法，三角形面積的求法等知識，難度中等．