Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，若△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n度（0°＜n＜90°）后，得到△E₁D₁C．
（1）如圖1，當(dāng)AB∥CD₁時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角n=

 

度，此時(shí)點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長

 

，線段BC掃過的圖形的面積是

 

；
（2）如圖2，連結(jié)AE₁，BD₁，則△ACE₁與△BCD₁的面積比為

 

；
（3）如圖3，在△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中，CD₁與邊ED交于點(diǎn)F，當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí)，則n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BCD₁=∠B，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答；根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AC=

1

2

AB，再利用弧長公式列式計(jì)算即可得解；利用勾股定理列式求出BC，然后根據(jù)扇形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答；
（3）分DF=CD和CF=DF兩種情況，利用等腰三角形兩底角相等求出∠DCF，再求出∠BCD₁，即為旋轉(zhuǎn)角．

解答：解：（1）∵AB∥CD₁，
∴∠BCD₁=∠B=30°，
即n=30°；
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
∴點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長=

30•π•1

180

=

1

6

π，
由勾股定理得，BC=

AB2-AC2

=

22-12

=

3

，
∴線段BC掃過的圖形的面積=

30•π• 3 2

360

=

1

4

π；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AC=CE₁，BC=CD₁，∠ACE₁=∠BCD₁，
∴△ACE₁∽△BCD₁，
∴△ACE₁與△BCD₁的面積比=（AC：BC）²=（1：

3

）²=1：3；

（3）DF=CD時(shí)，∠DCF=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠BCD₁=90°-∠DCF=90°-75°=15°，
CF=DF時(shí)，∠DCF=∠D=30°，
∴∠BCD₁=90°-∠DCF=90°-30°=60°，
綜上所述，n=15°或60°．
故答案為：（1）30°，

1

6

π，

1

4

π；（2）1：3；（3）15°或60°．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長的計(jì)算，扇形的面積計(jì)算，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（3）要注意分情況討論．