Question

19．如圖所示，△ABC的邊BC的中垂線DF交△BAC的外角平分線AD于D，F(xiàn)為垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，試探索線段BE，AC，AE之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 結(jié)論：BE=AC+AE，連接DB、DC，作DM⊥CA于M，首先證明△ADE≌△ADM得AM=AE，再證明△BED≌△CMD得到BE=CM=CA+AM=CA+AE得證．

解答 結(jié)論：BE=AC+AE，理由如下，
證明：連接DB、DC作DM⊥CA于M，
∵DA平分∠MAB，DE⊥AB，DM⊥AM，
∴DE=DM，∠DEB=∠DMC=90°，
在RT△ADE和RT△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADM，
∴AE=AM，
∵DF垂直平分BC，
∴DB=DC，
在RT△BED和RT△CMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DM}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CMD，
∴BE=CM，
∴BE=AC+AM=AC+AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．