精英家教網(wǎng)如圖,已知二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),⊙M是△ABC的外接圓.
(1)求陰影部分扇形AMC的面積;
(2)在x軸的正半軸上有一點(diǎn)P,作PQ⊥x軸交BC于Q,設(shè)PQ=K.
①設(shè)△OPQ的面積為S,求S關(guān)于K的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
②△CMQ能否與△AOC相似?若能,求出K的值;若不能,說明理由.
分析:(1)令y=0求出A點(diǎn)、B點(diǎn)的坐標(biāo),當(dāng)x=0,求出C點(diǎn)的坐標(biāo),求出∠OBC=45°,求出∠M=90°,根據(jù)勾股定理求出AC=
OA2+OC2
=
10
和AM=
5
,根據(jù)扇形的面積公式求出即可;
(2)①由PQ⊥AB,∠PBQ=45°得出∠PBQ=∠PQB=45°,求出OP=OB-BP=3-k,根據(jù)三角形的面積公式s=
1
2
•OP•PQ即可求出答案;②當(dāng)A、M、Q點(diǎn)在同一直線上時,由∠ACO=∠QCM,∠AOC=∠QMC=90°,得到△CMQ∽△AOC,根據(jù)勾股定理求出BQ=
BP2+PQ2
=
2
k
,BC=
OB2+OC2
=3
2
,推出CQ=3
2
-
2
k
,代入
AC
CQ
=
CO
CM
,即可求出k的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)令y=x2-2x-3=0,
∴x1=3,x2=-1,
∴A點(diǎn)(-1,0),B點(diǎn)(3,0),
∴OB=3,OA=1,
令x=0,則y=-3,
∴C點(diǎn)(0,-3),
∴OC=3,
∴OB=OC,
∵∠BOC=90°,
∴∠OBC=45°,
∴∠M=90°,
在Rt△AOC中,AC=
OA2+OC2
=
10
,
在Rt△AMC中,AM2+MC2=AC2,AM=BM,
∴AM=
5
,
∴S扇形AMC=
90×π(
5
)
2
360
=
4

答:陰影部分扇形AMC的面積是
4


(2)①∵PQ⊥AB,∠PBQ=45°,
∴∠PBQ=∠PQB=45°,
∴PB=PQ=K,
∴OP=OB-BP=3-k,
∴s=
1
2
•OP•PQ=
1
2
k(3-k)=-
1
2
k2+
3
2
k=-
1
2
(k-
3
2
)2+
9
8

∴s的最大值是
9
8
,
答:設(shè)△OPQ的面積為S,S關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式是s=-
1
2
k2+
3
2
k,S的最大值是
9
8


②當(dāng)A、M、Q點(diǎn)在同一直線上時,
∠ACO=∠QCM,∠AOC=∠QMC=90°,
則△CMQ∽△AOC,
在Rt△BPQ中,根據(jù)勾股定理得BQ=
BP2+PQ2
=
2
k
,
在Rt△OBC中,根據(jù)勾股定理得:BC=
OB2+OC2
=3
2
,
∴CQ=3
2
-
2
k

AC
CQ
=
CO
CM
,
10
3
2
-
2
K
=
3
5

k=
4
3
,
答:△CMQ能與△AOC相似,此時k的值是
4
3
點(diǎn)評:本題主要考查對三角形的面積,勾股定理,三角形的外接圓與外心,圓周角定理,相似三角形的性質(zhì)和判定,等腰三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理,解一元一次方程,扇形的面積,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)的最值,三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)的理解和掌握,綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵,題型較好,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,1),直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(
5
2
,
13
4
),B點(diǎn)在y軸上,直線與x軸的交點(diǎn)為F,P為線段AB上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合),過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于E點(diǎn).
(1)求k,m的值及這個二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)線段PE的長為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點(diǎn),在線段AB上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、E、D為頂點(diǎn)的精英家教網(wǎng)三角形與△BOF相似?若存在,請求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(3,0)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求此二次函數(shù)的解析式,并寫出它的對稱軸;
(2)若直線l:y=kx(k>0)與線段BC交于點(diǎn)D(不與點(diǎn)B,C重合),則是否存在這樣的直線l,使得以B,O,D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)若直線l′:y=m與該拋物線交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓半徑的長度.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,0),直線y=x+b與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)B在y軸上.點(diǎn)P為線段AB上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合),過點(diǎn)P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E.
(1)求b的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)設(shè)線段PE的長為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)若點(diǎn)D為直線AB與該二次函數(shù)的圖象對稱軸的交點(diǎn),則四邊形DCEP能否構(gòu)成平行四邊形?如果能,請求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不能,請說明理由.
(4)以PE為直徑的圓能否與y軸相切?如果能,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)C(0,-5).
(1)求該二次函數(shù)的解析式和它與x軸的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)在上面所求二次函數(shù)的對稱軸上存在一點(diǎn)P(2,-2),連接OP,找出x軸上所有點(diǎn)M的坐標(biāo),使得△OPM是等腰三角形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•衡水一模)如圖,已知二次函數(shù)y=-
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x2+bx+c
的圖象經(jīng)過A(2,0)、B(0,-6)兩點(diǎn).
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C,連接BA、BC,求△ABC的面積;
(3)若拋物線的頂點(diǎn)為D,在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使得△PAD的周長最。咳舸嬖,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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