Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+c的經(jīng)過(guò)D（﹣2，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）、與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的表達(dá)式和A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使得∠OAP＝∠BCO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上．

①當(dāng)∠ACM＝90°時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使以M、N、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，A（﹣3，0），B（1，0）（2）P1（﹣1，）；P2（﹣1，﹣）（3）M1（﹣2，3），M2（﹣4，﹣5），M3（2，﹣5）

【解析】

（1）將點(diǎn)D代入函數(shù)解析式求出c,進(jìn)而表示出二次函數(shù)的一般式：y＝﹣x2﹣2x+3，令y=0即可求出A,B的坐標(biāo)；

（2）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸,進(jìn)而求出AH=2, C（0，3），當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，易證△AHP∽△COB，得 ，即可求出點(diǎn)P1（﹣1，）；當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，即與點(diǎn)P1關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)P2（﹣1，﹣）；

（3）①過(guò)點(diǎn)M作MI⊥y軸，垂足為I，由（2）知：AO＝CO，則∠ACO＝∠CAO＝45°，利用等腰直角三角形性質(zhì)得MI＝CI，設(shè)M（x，﹣x+3），找到等量關(guān)系﹣x2﹣2x+3＝﹣x+3，即可求出M（﹣1，4）；②設(shè)出M,N的坐標(biāo),分別求出對(duì)角線的中點(diǎn),利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分這一性質(zhì)建立方程組,求解即可,見詳解.

（1）∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+c的經(jīng)過(guò)D（﹣2，3），

∴﹣4+4+c＝3，

解得：c＝3，

即拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3，

設(shè)y＝0，則0＝﹣x2﹣2x+3，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴A（﹣3，0），B（1，0）；

（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，令拋物線對(duì)稱軸和x軸交于點(diǎn)H,

∴AH＝2，令x＝0，則y＝﹣x2﹣2x+3＝3，

即點(diǎn)C（0，3），

當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)H，

∵∠OAP＝∠BCO，∠AHP＝∠COB＝90°，

∴△AHP∽△COB，

∴ ，

即，

解得：PH＝，

∴點(diǎn)P1（﹣1，）；

當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，即與點(diǎn)P1關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)P2（﹣1，﹣）；

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（﹣1，）；P2（﹣1，﹣）；

（3）①過(guò)點(diǎn)M作MI⊥y軸，垂足為I，由（2）知：AO＝CO，則∠ACO＝∠CAO＝45°，

∵∠ACM＝90°，

∴∠MCI＝45°，

∴MI＝CI，設(shè)M（x，﹣x+3），

∴﹣x2﹣2x+3＝﹣x+3，

解得：x1＝﹣1，x2＝0（舍去），

即M（﹣1，4）；

②假設(shè)存在滿足題意的M,N,設(shè)M（m,-m2-2m+3）,N(-1,n)由（1）（2）問(wèn)可知A(-3,0)C(0,3),

若AC為平行四邊形對(duì)角線,

∵線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（,）,線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）,

∴

解得：m=-2,n=0,則-m2-2m+3=3,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1（﹣2，3），

若AN為平行四邊形對(duì)角線,同理可得

解得：m=-4,n=-2,則-m2-2m+3=-5,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為M2（﹣4，﹣5），

若AM為平行四邊形對(duì)角線,同理可得

解得：m=2,n=-8,則-m2-2m+3=-5,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為M3（2，﹣5）

所以M有三點(diǎn)，此M的坐標(biāo)為M1（﹣2，3），M2（﹣4，﹣5），M3（2，﹣5）