Question

9．如圖，C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，連結(jié)AC，BC，分別以AC，BC為底邊向
外作高為AC，BC長(zhǎng)的等腰△ACM，等腰△BCN，$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的中點(diǎn)分別是P，Q．若
MP+NQ=12，AC+BC=15，則AB的長(zhǎng)是10.5．

Answer 1

分析 連接OP，OQ，根據(jù)$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的中點(diǎn)分別是P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，從而得到H、I是AC、BD的中點(diǎn)，利用中位線定理得到OH+OI=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=$\frac{15}{2}$和PH+QI，從而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．

解答 解：連接OP，OQ，
∵$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的中點(diǎn)分別是P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中點(diǎn)，∠CHP=90°，
∵AM=CM，
∴MH⊥AC，
∴∠MHC=90°，
∴M，P，H，O共線，
∴OH+OI=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=$\frac{15}{2}$，
∵M(jìn)H+NI=AC+BC=15，MP+NQ=12，
∴PH+QI=15-12=3，
∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=$\frac{15}{2}$+3=$\frac{21}{2}$，
故答案為：10.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓心角，弧，弦的關(guān)系，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，中位線定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．