Question

如圖，正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于O，∠ADE=15°，過D作DG⊥ED于D，且AG=AD，過G作GF∥AC交ED的延長線于F．
（1）若ED=，求AG；
（2）求證：2DF+ED=BD．

Answer 1

解（1）在正方形ABCD中，AC⊥BD，∠ADO=45°，
∵∠ADE=15°，
∴∠EDO=30°
∵DE=4，∠EOD=90°，
∴OD=6，
在Rt△AOD中，AD=12，∴AG=AD=12；
（2）延長GF，過C作CM∥AG，交GF的延長線于M，連接DM．
∵AC∥GF，即AC∥GM，
∴四邊形ACMG是平行四邊形，
∴AG=AD=DC=CM，∠AED=∠DFM=120°，
∵∠ADE=15°
∴∠DAG=30°，∠GAE=∠CMF=75°，∠ACM=105°，
∴∠DCM=60°，
∴△DCM是等邊三角形，
∴DM=AD，
∵∠DMF=∠ADE=15°
∴△AED≌△DFM，
∴FM=ED，AE=DF
又∵AC=GM，
即BD=GF+FM=DF+ED 又在RT△GDF中，∠GFD=60°，
∴∠DGF=30°，
∴GF=2DF，
∴BD=2DF+ED．
分析：（1）利用已知條件可先求出OD的長，進而求出AD的長，又因為AG=AD，所以可求出AD的長；
（2）延長GF，過C作CM∥AG，交GF的延長線于M，連接DM，可證明四邊形ACMG是平行四邊形、△DCM是等邊三角形，利用平行四邊形的小性質和等邊三角形的性質以及全等三角形的性質即可證明2DF+ED=BD．
點評：本題考查了正方形的性質、直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質以及等邊三角形的判定和性質，特別是第二問題目的綜合性很強難度不小．