Question

4．如圖，已知，MN是AD的垂直平分線，點C在MN上，∠MCA=20°，∠ACB=90°，CA=CB=5，BD交MN于點E，交AC于點F，連接AE．   
（1）求∠CBE，∠CAE的度數(shù)；
（2）求AE²+BE²的值．

Answer 1

分析 （1）連接CD，利用軸對稱的性質(zhì)進行解答即可；
（2）根據(jù)勾股定理進行解答即可．

解答 解：（1）連接CD，
∵MN垂直平分AD，點C，E在MN上，
∴根據(jù)點A，D關(guān)于MN的對稱性，得 CA=CD，∠MCD=∠MCA，∠CAE=∠CDE，
∵CA=CB，
∴CB=CD，
∴∠CBE=∠CDB，
∴∠CBE=∠CAE，
∵∠MCA=20°，
∴∠MCD=20°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=130°，
∴∠CBE=∠CDB=25°，
∠CAE=∠CDB=∠CBE=25°；
（2）∵∠CFE既是△AEF的外角又是△BCF的外角，
∴∠CFE=∠CAE+∠AEF=∠CBF+∠FCB，
∵∠CAE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ACB=90°，
∴AE²+BE²=AB²，
∵∠ACB=90°，CA=CB，AC=5，
∴AB²=AC²+BC²=50，
∴AE²+BE²=AB²=AC²+BC²=50．

點評 本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．