Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，A點坐標為（-8，0），B點坐標為（2，0），以AB為直徑的圓P與y軸的負半軸交于點C．
（1）求圖象經過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）設M點為所求拋物線的頂點，試判斷直線MC與⊙P的關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）連接AC、BC；
∵AB是⊙P的直徑，
∴∠ACB=90°；
在Rt△ABC中，OA=8，OB=2，且OC⊥AB；
則OC²=OA•OB=16，得OC=4；
故C（0，-4），
設拋物線的解析式為：y=a（x+8）（x-2），
代入C點坐標得：
a（0+8）（0-2）=-4，a=，
故拋物線的解析式為：y=（x+8）（x-2）=x²+x-4；

（2）由（1）知：y=x²+x-4=（x+3）²-；
則M（-3，-），
又∵C（0，-4），P（-3，0），
∴MP=，PC=5，MC=，
∴MP²=MC²+PC²，即△MPC是直角三角形，且∠PCM=90°，
故直線MC與⊙P相切．
分析：（1）連接AC、BC，由于AB是⊙P的直徑，則∠ACB=90°，在Rt△ABC中，OC⊥AB，易知OA、OB的長，利用射影定理即可求得OC的長，從而求得點C的坐標，然后利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；
（2）用配方法將（1）題所得拋物線化為頂點坐標式，即可得到點M的坐標，也就能求出PM、MC的長，然后再判斷△PMC的形狀即可．
點評：此題主要考查了圓周角定理、二次函數解析式的確定、直角三角形的判定、直線與圓的位置關系等知識，難度適中．